2021年10月30日 代数

\[\begin{aligned} &1. 设 0 \leq a_{i} \leq c(i \geq 1),\left|a_{i}-a_{j}\right| \geq \frac{1}{i+j}(i \neq j) , 证明 c \geq 1\\ &2. 已知 a, b, c>0 , 证明 \sum \frac{(2 a+b+c)^{2}}{2 a^{2}+(b+c)^{2}} \leq 8\\ &3. 设 x, y, z>-1 , 证明 \sum \frac{1+x^{2}}{1+y+z^{2}} \geq 2\\ &4. 已知 a_{1} \leq \cdots \leq a_{n} , 证明 \left[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(| a_{i}-a_{j} |\right)\right]^{2} \leq \frac{2\left(n^{2}-1\right)}{3} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(a_{i}-a_{j}\right)^{2} \\ &5. 设 a, b, c>0, abc \geq 2^{9} , 证明 \cfrac{1}{\sqrt{1+a}}+\cfrac{1}{\sqrt{1+b}}+\cfrac{1}{\sqrt{1+c}} \geq \cfrac{3}{\sqrt{1+\sqrt[3]{abc}}} \\ &6. 对所有的实数 x, y, z , 证明 | x |+| y |+|z |-| x+y|-| y+z|-| z+x|+|x+y+z| \geq 0 \\ &7. 设复数 z_{i}, w_{j} 对任意 \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n} \in\{-1,1\} ，均有 \mid \varepsilon_{1} z_{1}+\cdots+\varepsilon_{n} z_{n} | \leq |\varepsilon_{1} w_{1}+\cdots+\varepsilon_{n} w_{n}|，证明\\ &|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2\leq |w_1|^2+\cdots+|w_n|^2\\ &8. 设 a, b, c>0, ab+bc+ca=1 , 证明 \sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6 b} \leq \frac{1}{abc}\\ &9. 设 x, y, z>0, xyz \geq 1 , 证明 \sum \frac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}} \geq 0 \\ &10 . 求最小的M, 使对任意 a, b, c , 有 | \sum a b\left(a^{2}-b^{2}\right)| \leq M\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2} \\ &11. 给定 a_{1}, \ldots, a_{n}>0 , 证明: 存在 x_{1}, \ldots, x_{n}>0, \sum_{i=1}^{n} x_{i}=1 , 且对任意的 y_{1}, \ldots, y_{n}>0 , \sum_{i=1}^{n} y_{i}=1 , 有 \sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i} x_{i}}{x_{i}+y_{i}} \geq \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} a_{i}\\ &12. 已知 x, y, z>0 , 求证: \sum x(y+z-x)^{2} \geq 2 x y z \sum \frac{x}{y+z}\\ &13. 已知 a, b, c>0 , 求证: \Sigma \sqrt{4 a^{2}+a b+4 b^{2}} \leq \sqrt{\sum\left(22 a^{2}+5 a b\right)}\\ &14. 已知 n \geq 2, a_{1} \geq a_{2} \geq \cdots \geq a_{n} \geq 0 , 求最小正数 \lambda , 使得 \sum_{k=1}^{n}\left(a_{1}+\cdots+a_{k}-k \sqrt[k]{a_{1} \ldots a_{k}}\right)^{2} \leq \lambda \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}\\ &15. 设 n \geq 4, a_{1}, \ldots, a_{n} \geq 0, a_{1}+\cdots+a_{n}=2 , 求 \frac{a_{1}}{1+a_{2}^{2}}+\frac{a_{2}}{1+a_{3}^{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{1+a_{1}^{2}} 的最小值.\\ &16. 设 a, b, c \in[0,1] , 求 f(a, b, c)=\sum \frac{a}{1+b+c}+(1-a)(1-b)(1-c) 的最值.\\ &17. 设 n \geq 4, a_{1}, \ldots, a_{n}>0, a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}=1 , 求证: \frac{a_{1}}{1+a_{2}^{2}}+\frac{a_{2}}{1+a_{3}^{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{1+a_{1}^{2}} \geq \frac{4}{5}\left(a_{1}^{\frac{3}{2}}+a_{2}^{\frac{3}{2}}+\cdots+a_n^{\frac{3}{2}}\right)^{2}\\ &18. 已知 a, b, c \in[1,2] , 求证: \sum \frac{3}{a+2 b} \geq \sum \frac{2}{a+b}\\ &19. 已知 x, y>0, x^{2019}+y \geq 1 , 求证: x+y^{2019}>1-\frac{1}{200}\\ &20. 已知 x, y, z>0 , 求证: \sqrt[3]{\Pi(2 x+y+z)} \geq \frac{4}{5} \sqrt[3]{\Pi(x+y)}+\frac{4}{5}(x+y+z)\\ \end{aligned} \]