2021年10月10日 数列2

设\(a_0=1,a_1=2\)，且\(n(n+1)a_{n+1}=n(n-1)a_n-(n-2)a_{n-1},n=1,2,3,\cdots\)，
求\(\cfrac{a_0}{a_1}+\cfrac{a_1}{a_2}+\cdots+\cfrac{a_{50}}{a_{51}}\)的值

解
令\(x_n=\cfrac{na_n}{a_{n-1}}\)
题中等式两边同时除以\(a_{n-1}\)得

\[\begin{align} &\cfrac{n(n+1)a_{n+1}}{a_{n-1}}=\cfrac{n(n-1)a_n}{a_{n-1}}-(n-2)\\ \Leftrightarrow&\cfrac{na_n}{a_{n-1}}\cdot\cfrac{(n+1)a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{n(n-1)a_n}{a_{n-1}}-(n-2)\\ \Leftrightarrow&x_n\cdot x_{n+1}=(n-1)x_n-(n-2) \space (*) \end{align} \]

由\(a_0=1,a_1=2\)，可知\(x_1=2\)，代入公式，可知\(x_2=\cfrac{1}{2},x_3=1\)
不难发现，\(x=1\)为方程\((*)\)的不动点（即当\(x_n=1\)时，\(x_{n+1}=1\)）
故知\(x_n=\cfrac{na_n}{a_{n-1}}=1,n=3,4,5,\cdots\)
即\(\cfrac{a_{n-1}}{{a_n}}=n,n=3,4,5,\cdots\)
又当\(n=2\)时，代入题中的递推公式可知\(a_2=\cfrac{1}{2}\)
故\(\cfrac{a_0}{a_1}=\cfrac{1}{2},\cfrac{a_1}{a_2}=4\)
故\(\cfrac{a_0}{a_1}+\cfrac{a_1}{a_2}+\cdots+\cfrac{a_{50}}{a_{51}}=(\cfrac{1}{2}+4)+3+4+5+\cdots+51=\cfrac{2655}{2}\)

附：这道题当然如果能够直接看出\(\{a_n\}\)的通项公式是最好的，这样可以直接通过数学归纳法
但是看不出来也无关紧要，可以通过间接的代数变形，化简题中方程，从而通过累乘，累加之类的方法解出通项公式
但一定要注意题目中递推公式\(n\)的取值范围，不在取值范围内的\(n\)须个个单独拿出讨论