2021年10月3日 数列1

已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=2t-3(t\in \mathbb{R}且t\neq \pm 1),a_{n+1}=\cfrac{(2t^{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}(n\in \mathbb{N}^*)\)
\((1)\)求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。
\((2)\)若\(t>0\)，比较\(a_{n}\)与\(a_{n+1}\)的大小

解:
\((1)\)

\[\begin{align} a_{n+1}&=\cfrac{(2t_{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}\\ &=2t^{n+1}-3+\cfrac{-4t^{2n+1}+4t^{n+1}+4t^n-4}{a_n+2t^n-1}\\ &=2t^{n+1}-3-4\times\cfrac{(t^{n+1}-1)(t^n-1)}{a_n+2t^n-1}\\ \end{align} \]

故可知

\[\cfrac{a_{n+1}-2t^{n+1}+3}{t^{n+1}-1}\times\cfrac{a_n+2t^n-1}{t_n-1}=-4 \]

又观察到

\[\cfrac{a_{n+1}-2t^{n+1}+3}{t^{n+1}-1}=\cfrac{a_{n+1}+1}{t^{n+1}-1}-2\\ \cfrac{a_n+2t^n-1}{t^n-1}=\cfrac{a_n+1}{t^n-1}+2 \]

知原式可变形为

\[\cfrac{2(t^{n+1}-1)}{a_{n+1}+1}-\cfrac{2(t^n-1)}{a_n+1}=1 \]

又当\(n=1\)时

\[\cfrac{2(t^1-1)}{a_1+1}=\cfrac{2(t-1)}{2t-3+1}=1 \]

知\(\{\cfrac{2(t^n-1)}{a_n+1}\}\)是以\(1\)为首项，公差为\(1\)的等差数列
所以

\[\cfrac{2(t^n-1)}{a_n+1}=1+1\times(n-1)=n \]

故

\[a_n=\cfrac{2\cdot t^n-n-2}{n} \]

\((2)\)
比较\(a_n=\cfrac{2\cdot t^n-n-2}{n}\)与\(a_{n+1}=\cfrac{2\cdot t^{n+1}-(n+1)-2}{n+1}\)的大小
等价于比较\(\cfrac{t^n-1}{n}\)与\(\cfrac{t^{n+1}-1}{n+1}\)的大小
\((i)\)当\(t>1\)时
即比较\(\cfrac{t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1}{n}\)与\(\cfrac{t^n+t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1}{n+1}\)的大小
即比较\(t^{n-1},t^{n-2},\cdots,1\)的代数平均数与\(t^n,t^{n-1},t^{n-2},\cdots,1\)的代数平均数
因为\(t^n\)大于前者中的任何一个数，所以后者大，即\(a_n<a{n+1}\)
\((ii)\)当\(t<1\)时
即比较\(\cfrac{t^n+t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1}{n+1}\)与\(\cfrac{t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1}{n}\)的大小
即比较\(t^n,t^{n-1},t^{n-2},\cdots,1\)的代数平均数与\(t^{n-1},t^{n-2},\cdots,1\)的代数平均数
因为\(t^n\)小于后者中的任何一个数，所以后者大，即\(a_n<a_{n+1}\)
综上，知当\(t>0\)时，\(a_n<a_{n+1}\)