【题解】P14364 [CSP-S 2025] 员工招聘

考虑设 \(f_{i, j}\) 为前 \(i\) 个人死了 \(j\) 个，由于不知道哪些人选了所以无法转移。原因是前面的决策会影响后面的决策，所以考虑贡献延后计算。

会发现一个事情，对于当前 \(c_x \leq j\) 的东西之后不会再决策所以对后面是没有影响的，这启发我们在 \(c_x = j\) 的时候结算贡献。

不妨设 \(f_{i, j, k}\)，其中 \(k\) 为前面钦定的 \(c_x > j\) 的位置的个数。

转移分三种：

1. \(s_{i+ 1} = 1\) 且 \(c_x > j\)，\(f_{i, j, k} \to f_{i + 1, j, k + 1}\)
2. \(s_{i + 1} = 0\) 且 \(c_x > j\)，\(f_{i, j, k} \times \binom{k + 1}{l} \times \binom{cnt_{j + 1}}{l} \times l! \to f_{i + 1, j + 1, k + 1 - l}\)
3. \(c_x \leq j\)，\(f_{i, j, k} \times \binom{k}{l} \times \binom{cnt_{j + 1}}{l} \times l! \times [pre_j - (i - k)] \to f_{i + 1, j + 1, k - l}\)

其中 \(pre\) 和 \(cnt\) 分别是 \(\leq j\) 和 \(= j\) 的数量。

答案考虑枚举死了多少人，即 \(\sum_{i = 0}^{n - m} f_{n, i, n - pre_i} (n - pre_i)!\)

注意到 \(l\) 的总和不超过 \(n\)，所以是 \(O(n^3)\) 的。

我们做完了，主要思路就是找到难做的地方消除这个难点。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i ++)
#define fro(i, a, b) for (int i = (a); i >= b; i --)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define reg register
#define IL inline
typedef long long LL;
typedef std::pair<int, int> PII;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
    return x * f;
}
// mt19937_64 sj(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
// uniform_int_distribution<LL> u0(0, 1ll << 60);

const int N = 510, Mod = 998244353;
int n, m, c[N], pre[N], cnt[N];
int C[N][N], fac[N];
int f[2][N][N];
char s[N];

IL int add(int &a, int b) {
    return a = (a + b) % Mod;
}

void init() {
    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j ++) C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % Mod;
    }
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % Mod;
}

int main() {
    n = read(), m = read();
    scanf("%s", s + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) c[i] = read(), cnt[c[i]] ++;
    pre[0] = cnt[0];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) pre[i] = pre[i - 1] + cnt[i];
    init();
    f[0][0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= i; j ++) {
            for (int k = 0; k <= i; k ++) {
                if (!f[i & 1][j][k]) continue;
                if (s[i + 1] == '1') add(f[i + 1 & 1][j][k + 1], f[i & 1][j][k]);
                if (s[i + 1] == '0') {
                    for (int l = 0; l <= min(cnt[j + 1], k + 1); l ++) {
                        int g = 1ll * C[k + 1][l] * C[cnt[j + 1]][l] % Mod * fac[l] % Mod;
                        add(f[i + 1 & 1][j + 1][k + 1 - l], 1ll * f[i & 1][j][k] * g % Mod);
                    }
                }
                if (pre[j] - (i - k) < 0) continue; 
                for (int l = 0; l <= min(cnt[j + 1], k); l ++) {
                    int g = 1ll * C[k][l] * C[cnt[j + 1]][l] % Mod * fac[l] % Mod * (pre[j] - (i - k)) % Mod;
                    add(f[i + 1 & 1][j + 1][k - l], 1ll * f[i & 1][j][k] * g % Mod);
                }            
            }
        }
        memset(f[i & 1], 0, sizeof f[i & 1]);
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n - m; i ++) ans = add(ans, 1ll * f[n & 1][i][n - pre[i]] * fac[n - pre[i]] % Mod);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}