子空间

一、子空间的基

1、张成子空间

若 $S=\left\{ u_1,u_2,\cdots,u_m \right \}$ 是向量空间 $V$ 的向量子集合，则 $u_1,u_2,\cdots,u_m$ 的所有线性组合的集合 $W$ 称为由 $u_1,u_2,\cdots,u_m$ 张成的子空间，定义为
$W = S p a n {u_{1}, u_{2}, \dots, u_{m}} = {u : u = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + \dots + a_{m} u_{m}}$

张成子空间 $W$ 的每个向量称为 $W$ 的生成元，而所有的生成元组成的集合 $\left\{u_1,u_2,\cdots,u_m\right\}$ 称为子空间的张成集。一个只包含了零向量的向量子空间称为平凡子空间。

2、子空间的基

令 $W$ 是一向量子空间。向量集合 $\left\{u_1,u_2,\cdots,u_p\right\}$ 称为 $W$ 的一组基，若下列两个条件满足：

$(1)$ 子空间 $W$ 由向量 $u_1,u_2,\cdots,u_p$ 张成，即
$W = S p a n {u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p}}$

$(2)$ 向量集合 $B=\left\{u_1,u_2,\cdots,u_p\right\}$ 是一线性无关的集合。

3、子空间的维数

子空间 $W$ 的任何一组基的向量个数称为 $W$ 的维数，用符号dim(W)表示。若 $W$ 的任何一组基都不是由有限个线性无关的向量组成时，则称 $W$ 是无限维向量子空间。

4、基的意义

$\bigstar$ 给向量子空间规定一组基能够为子空间 $V$ 提供一坐标系。

子空间向量的唯一表示定理：令 $B=\left\{b_1,b_2,\cdots,b_n\right\}$ 是 $n$ 维向量子空间 $W$ 的一组基，则对于 $W$ 中的任何一个向量 $x$，都存在一组唯一的标量 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 使得 $x$ 可以表示为
$x = c_{1} b_{1} + c_{2} b_{2} + \dots + c_{n} b_{n}$

由上面子空间向量的唯一表示定理可知，系数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 的唯一性，使得可以利用它们构成子空间 $W$ 表示的 $n$ 个坐标，从而组成子空间的坐标系，即这些系数是将 $x$ 与基 $B$ 联系起来的坐标（称为 $x$ 的 $B$ 坐标）。

简单表述为：若 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 是向量 $x$ 的 $B$ 坐标，则称
${[x]}_{B} = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}]$

是 $x$ 的坐标向量。

二、无交连、正交与正交补

两个子空间之间的关系由这两个子空间的元素（即向量）之间的关系刻画。

1、无交连

若 $S_1,S_2,\dots,S_n$ 这些子空间共同的唯一向量为零向量，即 $S=S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n=\left\{0\right\}$，则称子空间 $S_1,S_2,\dots,S_n$ 无交连， $S$ 称为子空间的直和，记作
$S = S_{1} \oplus S_{2} \oplus \dots \oplus S_{n}$

此时，每一个向量 $x\in S$ 具有唯一的分解表示 $x=a_1+a_2+\cdots+a_n$ ，其中 $a_i\in S_i$

2、正交

若子空间 $S_1$ 中的每一个向量和子空间 $S_2$ 中的每一个向量都相互正交，则子空间 $S_1$ 和 $S_2$ 相互正交。

3、正交补

若一个向量与子空间 $S$ 的所有向量都正交，则称该向量正交与子空间 $S$。推而广之，若与子空间 $S$ 正交的所有向量的集合组成一个向量子空间，称为 $S$ 的正交补空间，记作 $S^\bot$。具体而言，令 $S$ 为一向量空间，则称向量空间 $S^\bot$ 为 $S$ 的正交补，表示为 $S^{⊥} = {x ∣ x^{T} y = 0, \forall y \in S}$

4、无交连、正交与正交补之间的关系

$\bigstar$ 无交连的两个子空间不一定正交，但正交的两个子空间必定是无交连的。

$\bigstar$ 子空间 $S$ 在向量空间 $V$ 的正交补 $S^\bot$ 一定与 $S$ 正交，但与 $S$ 正交的子空间一般不是 $S$ 正交补。即向量空间 $V$ 是由它的子空间 $S$ 与正交补 $S^\bot$ 补充而成，可表示为 $V = S \oplus S^{⊥}$

三、子空间的正交投影与夹角

1、子空间的正交投影

令 $x\in R^n$，$S$ 和 $H$ 是两个子空间。若用一线性变换矩阵 $P$ 将向量 $x$ 映射为子空间 $S$ 的向量 $x_1$。这种线性变换称为沿着 $H$ 方向到 $S$ 的投影算子，常用符号 $P_{S\mid H}$ 表示。若子空间 $H$ 是 $S$ 的正交补，则 $P_{S\mid S^\bot}*x$ 是将 $x$ 沿着与子空间 $S$ 垂直的方向到 $S$ 的投影，称 $P_{S\mid S^\bot}*x$ 为到子空间 $S$ 的正交投影，常用符号 $P_S$ 表示。

定义：矩阵 $P\in C^{m\times n}$ 称为到子空间 $S$ 正交投影算子，若 $Range(P)=S$，$P^2=P$ 和 $P^H=P$

由子空间的正交投影定义可知，正交投影算子满足幂等性和Hermitian性。若是一个线性算子满足幂等性和Hermitian性，但是其列空间与子空间 $S$ 不一致，则它就不是子空间 $S$ 的正交投影算子。

2、子空间的夹角

复向量空间 $C^n$ 内的两个非零向量 $x$ 和 $y$ 之间的夹角记为 $\theta(x,y)$，它们之间的锐角定义为 $c o s θ (x, y) = \frac{| ⟨ x, y ⟩ |}{{∥ x ∥}_{2} {∥ y ∥}_{2}} ， 0 \leq θ (x, y) \leq \frac{π}{2}$

向量 $x$ 与子空间 $S$ 之间的锐角定义为 $x$ 与子空间内所有向量 $y$ 之间的最小锐角，即 $θ (x, S) = min_{y \in S} θ (x, y)$

两个子空间之间的夹角（待完成！！！）

四、矩阵的四大基础子空间

对于一个 $m\times n$ 的矩阵 $A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & a_{m 3} & \dots & a_{m n} \end{matrix}]$

有四个重要的基础子空间，分别为

列空间
行空间
零空间
左零空间

1、列空间

取 $A$ 的列向量，令

\[C_1 = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1}\end{bmatrix}，\cdots， C_n = \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn}\end{bmatrix} \]

则

\[A=\begin{bmatrix} C_1, &C_2, & C_3, & \cdots&, C_n \end{bmatrix} \]

那么对于矩阵 $A$ 而言，它包含了 $n$ 个 $m$ 维列向量，那么 $A$ 的列空间就是：这 $n$ 个 $m$ 维列向量的线性长成空间。

$①$ 矩阵 $A$ 的列空间记作 $Col(A)$ 或 $C(A)$

$②$ 由于每个列向量的维数是 $n$，故 $C(A)$ 是 $R^m$ 的子空间

$③$ 列空间中的任意一个向量可表示为

\[\bar x=A\begin{bmatrix} r_1\\ r_2\\ r_3\\ \vdots \\r_n \end{bmatrix}\]

将上式展开即为 $\bar x=r_1C_1+r_2C_2+\cdots+r_nC_n$，满足向量子集合张成子空间的定义。

2、行空间

对矩阵 $A$ 做行向量拆分，令

\[R_1=\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{12}\\ \vdots \\ a_{1n} \end{bmatrix}，\cdots，R_m=\begin{bmatrix} a_{m1}\\ a_{m2}\\ \vdots \\a_{mn} \end{bmatrix} \]

则

\[A=\begin{bmatrix} R_1^T \\ R_2^T \\ \vdots \\ R_m^T \end{bmatrix} \]

$①$ 矩阵 $A$ 的行空间记作 $Row(A)$ 或 $R(A)$

$②$ 由于每个行向量的维数是 $n$，故 $R(A)$ 是 $R^n$ 的子空间

$③$ 类比于列向量，可以将 $R(A)$ 看作 $A$ 的转置矩阵右乘一个比例因子向量 $\begin{bmatrix} r_1' \\r_2'\\ \vdots \\r_m' \end{bmatrix}$ 的向量空间，可以发现矩阵 $A$ 的行空间就是 $A^T$ 的列空间，可得 $R(A)=C(A^T)$

3、零空间

所有满足 $A\bar x=0$ 的向量 $\bar x$ 集合就称之为矩阵A的零空间。如果矩阵 $A$ 的各列线性无关，则 $\bar x$ 就只有零向量这个唯一解，如果 $A$ 的各列线性相关(意味着降维了，进一步是行列式值为零)，那么 $\bar x$ 就有非零解。

由于 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，故零空间一定是 $R^n$ 的子空间。

4、左零空间

$①$ 等 A^T$ 的零空间，记作 $N(A^T)$

$②$ 由于 $\tilde yA=0$ 中向量在左侧，故强调“左”零向量

$③$ 左零空间一定是 $R^m$ 的子空间

5、四大子空间的正交关系

$①$ 列空间和左零空间正交

$②$ 行空间和零空间正交

故有

$\bigstar$ 任意 $R^m$ 空间中的向量：可以向【列空间】和【左零空间】进行分解投影

$\bigstar$ 任意 $R^n$ 空间中的向量：可以向【行空间】和【零空间】进行分解投影

posted @ 2022-08-14 14:22 吃个橘子阅读(1147) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

吃个橘子

自己的学习记录

子空间