[BZOJ3998][TJOI2015]弦论(后缀数组)

[BZOJ3998][TJOI2015]弦论(后缀数组)

题面

对于一个给定长度为N的字符串，求它的第K小子串是什么。

T为0则表示不同位置的相同子串算作一个。T=1则表示不同位置的相同子串算作多个。K的意义如题所述。

分析

不同位置的相同子串算作一个(T=0)

每个子串都是一个后缀的前缀。那么我们按照rank顺序枚举到排名为i的后缀。那么这个后缀往后会产生\(n-sa[i]+1\)个子串。且这些子串的字典序比\(sa[i-1]\)的大，否则它们会作为一个更小的前缀排在前面。考虑到\(height[i]=\text{lcp}(sa[i-1],sa[i])\),也就是说有\(height[i]\)个子串是重复的。

因此，每个后缀都有\(n-sa[i]+1-height[i]\)个本质不同的子串。我们不停累加这个数，累加到\(K\)时停止即可。

不同位置的相同子串算作多个(T=1)

记录\(sum[i]\)表示\(sa[1],sa[2]\dots sa[i]\)的子串数量之和，不同位置的相同子串算作多个。容易发现\(sum[i]=\sum_{j=1}^i (n-sa[j]+1)\)

我们枚举子串的第\(i\)位上的字符\(j\)。那么该子串所在后缀前\(i\)位已经确定，后面的字符还可以选择，按字典序排序后一定在一个连续区间。如\(i=3,j='b'\):

aabc
aabcdaabc

二分出第i位为j的子串开头所在后缀的rank区间\([l_2,r_2]\),那么这样的子串个数\(cnt=sum[r_2]-sum[l_2-1]-(r_2-l_2+1)(i-1)\).其中\((r_2-l_2+1)(i-1)\)减去长度不足i的子串.

而到第\(i\)位就结尾的子串有\(r_2-l_2+1\)个。当\(cnt>K\)时，就确定了这个字母，否则k减去，继续枚举下一个字母。

细节见代码。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 500000
#define maxs 128 
using namespace std;
typedef long long ll;

void rsort(int *ans,int *fi,int *se,int sz,int maxv){
	static int buck[maxn+5];
	for(int i=0;i<=maxv;i++) buck[i]=0;
	for(int i=1;i<=sz;i++) buck[fi[i]]++;
	for(int i=1;i<=maxv;i++) buck[i]+=buck[i-1];
	for(int i=sz;i>=1;i--) ans[buck[fi[se[i]]]--]=se[i];
}
int sa[maxn+5],rk[maxn+5],height[maxn+5];
void suffix_sort(char *str,int n){
	static int se[maxn+5];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		rk[i]=str[i];
		se[i]=i;
	}
	rsort(sa,rk,se,n,maxs);
	for(int k=1,m=maxs;k<=n;k*=2){
		int p=0;
		for(int i=n-k+1;i<=n;i++) se[++p]=i;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(sa[i]>k) se[++p]=sa[i]-k;
		}
		rsort(sa,rk,se,n,m);
		swap(rk,se);
		p=rk[sa[1]]=1;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			if(se[sa[i-1]]==se[sa[i]]&&se[sa[i-1]+k]==se[sa[i]+k]) rk[sa[i]]=p;
			else rk[sa[i]]=++p;
		}
		if(p==n) break;
		m=p;
	}
}
void get_height(char *str,int n){
	suffix_sort(str,n);
	for(int i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
	int k=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(k) k--;
		int j=sa[rk[i]-1];
		while(str[i+k]==str[j+k]) k++;
		height[rk[i]]=k;
	}
}

int n,T,K;
char s[maxn+5];
void solve0(){
	int now=0,last=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		now=last+n-sa[i]+1-height[i];
		if(now>K){
			for(int j=0;j<K+height[i]-last;j++){
				putchar(s[sa[i]+j]);
			}
			return;
		}
		last=now;
	}
	printf("-1\n");
}

int bin_search(int l,int r,int len,char ch){
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(s[sa[mid]+len-1]>ch){
			r=mid-1;
		}else l=mid+1;
	}
	return r;
}
 
void solve1(){
	//[Warning] You are not expected to understand this.
	static ll sum[maxn+5];//后缀sa[1],sa[2],...sa[i]的所有不同子串个数之和 
	for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+n-sa[i]+1; 
	if(K>sum[n]){
		printf("-1\n");
		return; 
	}
	int l1=1,r1=n;
	for(int i=1;i<=n;i++){//枚举子串的第i位的字符
		int l2=l1;
		for(char j='a';j<='z';j++){//按字典序枚举 
			int r2=bin_search(l2,r1,i,j);//二分出第i位为j的子串开头所在后缀的rank区间[l2,r2] 
			ll cnt=sum[r2]-sum[l2-1]-(ll)(r2-l2+1)*(i-1); //第i位为j的子串个数,减去(i-1)*(r2-l2+1)是把长度不足i的子串减掉 
			if(K<=cnt){//剩下的个数比cnt小，说明子串的第i位一定是j 
				if(K<=r2-l2+1){
					//第i位是j的子串中,最小的r2-l2+1个子串显然结尾是j 
					//如果满足这个条件,那子串的结尾一定是j,后面没有其他字符,可以直接输出
					 for(int u=sa[l2];u<=sa[l2]+i-1;u++) putchar(s[u]);
					 return; 
				}else{
					l1=l2;
					r1=r2;
					K-=r2-l2+1;
					break;
					//否则这个子串第i位是j,后面还有其他字符,所以要break掉再去枚举i+1位 
				}
			}else{
				//第i位应该大于j 
				l2=r2+1;//枚举下一个rank区间
				K-=cnt; //减去当前已经算过的个数 
			} 
		} 
		if(n-sa[l1]+1==i) l1++; //后缀sa[l1]的长度只有i,无法枚举到i+1位，所以去掉l1 
	} 
}
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	scanf("%d %d",&T,&K);
	n=strlen(s+1);
	get_height(s,n);	
	if(T==0){
		solve0(); 
	}else{
		solve1();
	}
}