[AHOI2013]作业 (莫队+分块)
[AHOI2013]作业 (莫队+分块)
题面
给定了一个长度为n的数列和若干个询问，每个询问是关于数列的区间[l,r]，首先你要统计该区间内大于等于a，小于等于b的数的个数，其次是所有大于等于a，小于等于b的，且在该区间中出现过的数值的个数。
分析
为简化时间复杂度分析，假设n,m在同一个数量级
不完美解法
首先第一问可以用可持久化线段树解决，第二问考虑莫队，莫队的时候用一个树状数组维护数值的出现情况，区间移动的时候，如果出现一个新的权值，就在树状数组上单点更新。反之则单点删除。关键部分代码如下：
int cnt[maxn+5];
void add(int val){
if(!cnt[val]) T2.update(val,1);//T2为树状数组
cnt[val]++;
}
void del(int val){
cnt[val]--;
if(!cnt[val]) T2.update(val,-1);
}
发现时间复杂度的瓶颈主要在第二问，单次查询和修改的时间复杂度是\(O( \log n)\),时间复杂度\(O(m \sqrt n \log n)\)
会被卡常，一般能拿到95分，运气好的话能拿到100分
正解
上面的算法时间复杂度的瓶颈主要在第二问的修改操作，复杂度\(O(m \sqrt n \log n)\)。我们需要一个支持\(O(1)\)修改，且查询复杂度不大于\(O(\sqrt n)\)的数据结构。我们立即可以想到分块。
我们按权值分块，在当前莫队处理的序列区间内，val1[x]表示第x块第一问的答案，val2[x]表示第x块第二问的答案，还有一个辅助数组cnt[v]表示权值v出现的次数。每次l,r增加或减少，就先修改cnt,然后根据cnt的变化去修改val1,val2.
查询的时候两端的部分用cnt数组暴力统计，中间的整块用val1或val2
时间复杂度\(O(m \sqrt n)\)
代码
分块AC代码
//https://www.luogu.org/problem/P4396
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 1000000
#define maxm 1000000
#define maxlogn 20
using namespace std;
inline void qread(int &x) {
x=0;
int sign=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') sign=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
x=x*sign;
}
inline void qprint(int x) {
if(x<0) {
putchar('-');
qprint(-x);
} else if(x==0) {
putchar('0');
return;
} else {
if(x>=10) qprint(x/10);
putchar('0'+x%10);
}
}
int n,m;
int a[maxn+5];
int bsz;
int belong[maxn+5];
struct query{
int l;
int r;
int a;
int b;
int id;
friend bool operator < (query a,query b){
return belong[a.l]<belong[b.l]||(belong[a.l]==belong[b.l]&&((belong[a.l]&1)?a.r<b.r:a.r>b.r));
}
}q[maxm+5];
struct divide_block{
inline int lb(int id){
return bsz*(id-1)+1;
}
inline int rb(int id){
return bsz*id>=n?n:bsz*id;
}
int cnt[maxn+5];//数x的出现次数
int val1[maxn+5];//第i个整块的第一问答案
int val2[maxn+5];//第i个整块的第二问答案
void add(int val){
if(cnt[val]==0) val2[belong[val]]++;
cnt[val]++;
val1[belong[val]]++;
}
void del(int val){
cnt[val]--;
if(cnt[val]==0) val2[belong[val]]--;
val1[belong[val]]--;
}
int query1(int l,int r){
int ans=0;
for(int i=l;i<=min(r,rb(belong[l]));i++) ans+=cnt[i];
for(int i=belong[l]+1;i<belong[r];i++) ans+=val1[i];
if(belong[l]!=belong[r]){
for(int i=lb(belong[r]);i<=r;i++) ans+=cnt[i];
}
return ans;
}
int query2(int l,int r){
int ans=0;
for(int i=l;i<=min(r,rb(belong[l]));i++) ans+=cnt[i]>0;
for(int i=belong[l]+1;i<belong[r];i++) ans+=val2[i];
if(belong[l]!=belong[r]){
for(int i=lb(belong[r]);i<=r;i++) ans+=cnt[i]>0;
}
return ans;
}
}B;
int ans1[maxm+5];
int ans2[maxm+5];
int main(){
qread(n);
qread(m);
for(int i=1;i<=n;i++){
qread(a[i]);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
qread(q[i].l);
qread(q[i].r);
qread(q[i].a);
qread(q[i].b);
q[i].id=i;
}
bsz=sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++) belong[i]=(i-1)/bsz+1;
sort(q+1,q+1+m);
register int l=1,r=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
while(l>q[i].l) B.add(a[--l]);
while(r<q[i].r) B.add(a[++r]);
while(l<q[i].l) B.del(a[l++]);
while(r>q[i].r) B.del(a[r--]);
ans1[q[i].id]=B.query1(q[i].a,q[i].b);
ans2[q[i].id]=B.query2(q[i].a,q[i].b);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
qprint(ans1[i]);
putchar(' ');
qprint(ans2[i]);
putchar('\n');
}
}
树状数组代码(有时会TLE，有时能AC)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 1000000
#define maxm 1000000
#define maxlogn 20
using namespace std;
inline void qread(int &x) {
x=0;
int sign=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') sign=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
x=x*sign;
}
inline void qprint(int x) {
if(x<0) {
putchar('-');
qprint(-x);
} else if(x==0) {
putchar('0');
return;
} else {
if(x>=10) qprint(x/10);
putchar('0'+x%10);
}
}
int n,m;
int a[maxn+5];
struct persist_segment_tree{
#define lson(x) tree[x].ls
#define rson(x) tree[x].rs
struct node{
int ls;
int rs;
int sum;
}tree[maxn*maxlogn+5];
int ptr;
void push_up(int x){
tree[x].sum=tree[lson(x)].sum+tree[rson(x)].sum;
}
void update(int &x,int last,int upos,int l,int r){
x=++ptr;
tree[x]=tree[last];
if(l==r){
tree[x].sum++;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(upos<=mid) update(tree[x].ls,tree[last].ls,upos,l,mid);
else update(tree[x].rs,tree[last].rs,upos,mid+1,r);
push_up(x);
}
int query(int xl,int xr,int L,int R,int l,int r){
if(L<=l&&R>=r){
return tree[xr].sum-tree[xl].sum;
}
int mid=(l+r)>>1;
int ans=0;
if(L<=mid) ans+=query(tree[xl].ls,tree[xr].ls,L,R,l,mid);
if(R>mid) ans+=query(tree[xl].rs,tree[xr].rs,L,R,mid+1,r);
return ans;
}
}T1;
int root[maxn+5];
struct fenwick_tree{
inline int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
int c[maxn+5];
void update(int pos,int val){
for(int i=pos;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=val;
}
int sum(int pos){
int ans=0;
for(int i=pos;i>0;i-=lowbit(i)) ans+=c[i];
return ans;
}
int query(int l,int r){
return sum(r)-sum(l-1);
}
}T2;
int bsz;
int belong[maxn+5];
struct query{
int l;
int r;
int a;
int b;
int id;
friend bool operator < (query a,query b){
return belong[a.l]<belong[b.l]||(belong[a.l]==belong[b.l]&&((belong[a.l]&1)?a.r<b.r:a.r>b.r));
}
}q[maxm+5];
int cnt[maxn+5];
void add(int val){
if(!cnt[val]) T2.update(val,1);
cnt[val]++;
}
void del(int val){
cnt[val]--;
if(!cnt[val]) T2.update(val,-1);
}
int ans1[maxm+5];
int ans2[maxm+5];
int main(){
qread(n);
qread(m);
for(int i=1;i<=n;i++){
qread(a[i]);
T1.update(root[i],root[i-1],a[i],1,n);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
qread(q[i].l);
qread(q[i].r);
qread(q[i].a);
qread(q[i].b);
q[i].id=i;
}
bsz=sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++) belong[i]=i/bsz+1;
sort(q+1,q+1+m);
register int l=1,r=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
while(l<q[i].l) del(a[l++]);
while(l>q[i].l) add(a[--l]);
while(r<q[i].r) add(a[++r]);
while(r>q[i].r) del(a[r--]);
ans1[q[i].id]=T1.query(root[q[i].l-1],root[q[i].r],q[i].a,q[i].b,1,n);
ans2[q[i].id]=T2.query(q[i].a,q[i].b);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
qprint(ans1[i]);
putchar(' ');
qprint(ans2[i]);
putchar('\n');
}
}
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