随笔分类 - 数学相关
摘要：[多校联考2019(Round 5)]青青草原的表彰大会(dp+组合数学) 题面 青青草原上有n 只羊，他们聚集在包包大人的家里，举办一年一度的表彰大会，在这次的表彰大会中，包包大人让羊们按自己的贡献从小到大排成一排，以便于发放奖金。每只羊都会得到数值在 1~m 的奖金，并且第 i 只羊的奖金应为第
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摘要：[Codeforces 1228E]Another Filling the Grid (排列组合+容斥原理) 题面 一个$n \times n$的格子,每个格子里可以填$[1,k]$内的整数。要保证每行每列的格子上的数最小值为1，有多少种方案 $n \leq 250,k \leq 10^9$ 分析
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摘要：[luogu5339] [TJOI2019]唱、跳、rap和篮球(容斥原理+组合数学)(不用NTT) 题面 略 分析 首先考虑容斥，求出有i堆人讨论的方案。 可以用捆绑法，把每堆4个人捆绑成一组，其他人每个人一组。这样一共有$n 3i$组(这些组可以被看成相同的点)。 我们从中选出n 4i个点，这些
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摘要：用生成函数推导数列的通项公式(重制版) 约定: \([p(x)]=\begin{cases}1 ,p(x)\text{为真}\\0,p(x)\text{为假} \end{cases}\) $f^n(x)\(表示\)(f(x))^n$ $f^{(n)}(x)$表示$f(x)$的$n$阶导数,一阶和二阶
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摘要：[BZOJ 4455] [ZJOI 2016] 小星星 (树形dp+容斥原理+状态压缩) 题面 给出一棵树和一个图，点数均为n,问有多少种方法把树的节点标号,使得对于树上的任意两个节点u,v,若树上u,v之间有一条边，图上u,v对应的点之间也有一条边。 $n \leq 17$ 分析 看到$n \le
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摘要：[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛) 题面 我们知道，从区间$[L,R]\(（L和R为整数）中选取N个整数，总共有\)(R-L+1)^N$种方案。求最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。 \(N,
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摘要：求$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mathrm{lcm}(i,j)$
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摘要：[BZOJ 3944]sum(杜教筛) 题面 求$\mu$和$\varphi$的前缀和 分析 套路公式: 我们要求$f$的前缀和,构造两个函数$g,h$满足$h=f g$, $F,G,H$为它们的前缀和 $$g(1)F(n)=H(n) \sum_{d=2}^n g(d) F(\frac{n}{d})
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摘要：[BZOJ 4332] [JSOI2012]分零食(DP+FFT) 题面 同学们依次排成了一列，其中有A位小朋友，有三个共同的欢乐系数O，S和U。如果有一位小朋友得到了x个糖果，那么她的欢乐程度就是$f(x)=Ox^2+Sx+U$ 现在校长开始分糖果了，一共有M个糖果。有些小朋友可能得不到糖果， 对
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摘要：[APIO 2010] [LOJ 3144] 奇怪装置 (数学) 题面 略 分析 考虑t1,t2时刻坐标相同的条件 $$\begin{cases} t_1+\lfloor \frac{t_1}{B} \rfloor \equiv t_2+\lfloor \frac{t_2}{B} \rfloor (
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摘要：[BZOJ 2820] YY的gcd(莫比乌斯反演+数论分块) 题面 给定N, M,求$1\leq x\leq N, 1\leq y\leq M$且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对。q组询问 分析 我们要求的是 \(\sum_{p \in P} \sum_{i=1}^n \sum_{j
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摘要：[BZOI 3994] [SDOI2015]约数个数和 题面 设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求$\sum _{i=1}^n \sum_{i=1}^m d(i \times j)$ T组询问，$N,M,T \leq 50000$ 分析 首先有一个结论 $$d(nm)= \sum _{i |n}
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摘要：[BZOJ4476] [JSOI2015] 送礼物 (01分数规划+ST表) 题面 给出n,k,l,r和序列a，要求从a中选一段连续的区间[i,j]出来，使得M(i,j) m(i,j)/(j i+k)最大，且[i,j]长度在区间[l,r]内。 M(i,j)表示[i,j]中的最大值，m(i,j)表示[
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摘要：[BZOJ 2301] [HAOI 2011] Problem b (莫比乌斯反演)(有证明) 题面 T组询问，每次给出a,b,c,d,k,求$\sum _{i=a}^b\sum _{j=c}^d[gcd(i,j)=k]$ $T,a,b,c,d,k\le 5\times 10^4$ 分析 $O(n^
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摘要：[Codeforces722E] Research Rover （dp+组合数学） 题面 给出一个N M的方格阵，从(1,1)出发，到(N,M)结束，从(x,y)只能走到(x+1,y)或(x,y+1)。方格阵上还有K个特殊点，初始时给出的分数t每经过一个特殊点就会变成$[\frac{t}{2}]$。
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摘要：Codeforces 1178D (思维+数学) 题面 给出正整数n（不一定是质数），构造一个边数为质数的无向连通图（无自环重边），且图的每个节点的度数为质数 分析 我们先构造一个环,每个点的度数都是2。但由于n不一定是质数，我们还需要再加k条边。然后对于$i \in [1,k]$,我们加边(i,i
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摘要：[Codeforces 316E3]Summer Homework(线段树+斐波那契数列) 顺便安利一下这个博客,给了我很大启发(https://gaisaiyuno.github.io/) 题面 有一个数列$f_i$满足$f_0=f_1=1,f_i=f_{i 1}+f_{i 2}(i 2)$(就是
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摘要：[Codeforces 997C]Sky Full of Stars(排列组合+容斥原理) 题面 用3种颜色对$n×n$的格子染色，问至少有一行或一列只有一种颜色的方案数。$(n≤10^6)$ 分析 显然任意染色的方案数为$3^{n^2}$,我们考虑求出没有一行一列只有一种颜色的方案数，然后相减。
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摘要：[HDU 3625]Examining the Rooms (第一类斯特林数) 题面 有n个房间，每个房间有一个钥匙，钥匙等概率的出现在n个房间内，每个房间中只会出现且仅出现一个钥匙。你能炸开门k次，问你能进入所有房间的概率。特殊要求：不能炸1号房间的门。 T组询问 T include includ
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摘要：[Codeforces 364D]Ghd(随机算法) 题面 给出n个正整数，在其中选出n/2(向上取整)个数，要求这些数的最大公约数最大，求最大公约数的最大值 分析 每个数被选到的概率$\geq \frac{1}{2}$，因此每次随机选出一个数x，选k次，对于每个数处理出它所能得到的最大答案。显然最
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