寻找“最好”（5）——无解之解

　　我所在的城市里，市中心有一座邮政大楼，小时候，那可是全市最高建筑！每到整点，楼顶的大钟就奏起《松花江上》，即使相隔很远也能听见。当时我对大楼的高度充满好奇，经常想着怎样用格尺去测量。初中学了方程组和几何后，我想到一种有效的方案，终于可以用格尺测量。

　　测量方法大概是这样：找到一根木棍插在地上，在视线中，当木棍顶端正好遮住楼顶时，记录下我所处位置与木棍的距离x₁，再用另一根木棍用同样的方法记下另一个距离x₂，如下图所示：

　　A₁和A₂是我两次测量时所处的位置，y₁和y₂是两根木棍的高度，因为测量时我是趴在地上，所以假设我的观察点和地面的距离是0；又因为我在测量时距离大楼很远，所以A₁Q和A₂Q的长度未知。通过这种方式可以建立一个方程组，设A₁Q = x：

　　两个方程，两个未知数，有唯一解，这下可以知道邮政大楼的高度了！

无解的方程

　　过了几天，我又去测量了一次，因为重新找了两根木棍，所以得到的数据略有区别。然而奇怪的是，这次得到的y值和原来相差很大。第一个感觉是量错了，所以进行了第三次测量，得到了第三组的近似数据，也得到了误差很大的新y值。测量继续进行……

测量次数	A₁Q₁	A₂Q₂	P₁Q₁	P₂Q₂	A₁A₂
1	X₁⁽¹⁾	X₂⁽¹⁾	y₁⁽¹⁾	y₂⁽¹⁾	a⁽¹⁾
2	X₁⁽²⁾	X₂⁽²⁾	y₁⁽²⁾	y₂⁽²⁾	a⁽²⁾
3	X₁⁽³⁾	X₂⁽³⁾	y₁⁽³⁾	y₂⁽³⁾	a⁽³⁾
…	…	…	…	…	…
10	X₁⁽¹⁰⁾	X₂⁽¹⁰⁾	y₁⁽¹⁰⁾	y₂⁽¹⁰⁾	a⁽¹⁰⁾

　　因为工具粗糙，并且视角略有差别，每一组的数据都不同。这下有意思了，20个方程，2个未知数，其中任意两个方程都唯一解，任意三个方程都无解：

　　在当时，这个变态的方程组已经远远超出我的理解范围，所以我得出结论——数学没有实用性。

约等方程组

　　大学学习了微积分，我第一次体会到数学的神奇；后来研究机器学习，更体会到数学的重要性。终于有一天，我想起了家乡的邮政大楼。

　　问题的关键是，测量存在误差，这就导致等式方程实际上是约等：

　　大多是时候，数学的推理是基于全等，我们可以通过a = b, b = c推出a = c，这在约等中是否成立呢？举一个实际的例子，向一个容积是1升的水杯中倒水，第一次差100毫升倒满，第二次溢出100毫升。从结果看，两次都和满水状态相差100毫升，但是两者之间却相差200毫升。从状态看，一次是“亏损”，一次是“盈余”，截然相反，让二者约等更不合逻辑了。如果用数字举例，四舍五入，1.4≈1；1.4≈1.45，1.45≈1.5，1.5≈2，最后的结论是1≈2，如果这都可以，那么根据该逻辑，可以推出1约等于任意数。