单变量微积分笔记20——三角替换1(sin和cos)

sin和cos的常用公式

  基本公式:

 

  半角公式:

 

  微分公式:

 

  积分公式:

三角替换

示例1

 

  根据微分公式,cosxdx = dsinx

示例2

示例3

半角公式

示例1

示例2     

  解法1:

  解法2:

综合示例

示例1

示例2

示例3

 

  三角函数和x的倍数都不一样,我们的目标是将x的倍数和三角函数转换为一致。

 

 示例4

  y = sin(ax)绕x轴旋转一周,ax的定义域是[0, π],求旋转后图形的体积。

  根据圆盘法(圆盘法参见数学笔记17——定积分的应用2(体积)):

  解法2:

 示例5

  如下图所示,已知圆的半径a和线段长度b,求阴影部分的面积。

  解法1,使用中学数学的知识,引一条与圆交于C点的辅助线,所求面积就变成了三角形的面积S1与扇形的面积S2之和,如下图所示:

  通过圆的公式x2 + y2 = a2,可知C的坐标是

  将上图映射到极坐标,则x = acosθ,y = asinθ,在C点,y = b = asinθ,θ = arcsin(b/a)

 

  解法2,使用定积分直接求解,面积是:

   现在的问题变成了如何求解定积分。

  如上图所示,与解法1一样引入极坐标,x = acosθ,y = asinθ,将θ写成关于y的函数,θ = arcsin(y/a)

  现在已经求得原函数,最后一步是求解定积分。可以将积分上下限替换成θ的表达式,也可将原函数的θ用y表示,这里使用第二种:

  看起来积分并不是每次都能使问题简单,虽然得到了一个方便的表达式,但这个表达式求解起来可能很困难。

 


   出处:微信公众号 "我是8位的"

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posted on 2017-11-15 22:57  我是8位的  阅读(9604)  评论(1编辑  收藏  举报

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