单变量微积分笔记7——曲线构图

   曲线构图的目标是根据f’(x)和f’’ (x)画出原函数f(x)的图像。

  原函数:f(x) = 3x-x3

  f’(x) = 3-3x2

  f’’(x) = -6x

函数的凹凸性

  前提是:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数。

  如果函数f’(x) > 0,则f(x)在(a,b)内是递增的;如果f’(x) < 0,则f(x)在(a,b)内是递减的。这很好理解,f’(x)是f(x)在x点切线的斜率,只有函数递增时,切线的斜率才能大于0。

  如果f’’(x) > 0,则f’递增;如果f’’(x) < 0,则f’递减。这相当于上一条结论的扩展,因为f’’是f’的导函数。

  凹凸性:

  (1)若在(a,b)内f’’(x) < 0,则f(x)在(a,b)上的图形是凹的,f’递减,即f的切线斜率递减;

  (2)若在(a,b)内f’’(x) > 0,则f(x)在(a,b)上的图形是凸的,f’递增,即f的切线斜率递增。

  上图中y=ex的二阶导数y’’=ex > 0,y=ex是凸的;y=lnx的二阶导数y’’=-1/x2<0,y=lnx是凹的。

  奇怪的是,国内外的教材对凸凹的定义是不一样的。同济大学的教材中,f’’大于0,函数为凹,f’’小于0,函数为凸,跟上面的定义正好相反。在一些微积分教材中,有将凸称为上凸,凹成为下凸;还有反着叫的……越来越乱了。

极值点和驻点

  原函数f(x) = 3x-x3

  f’(x) = 3 - 3x2 = 3(1-x2)

  

  由此可以画出f(x)的简图:

  (-1, -2)和(1, 2)是两个重要的点,经过这两个点后,f’的符号改变,f的递增递减发生变化,在这两个点上,f’(x)=0,这两个点称为函数的极值点。需要注意的是,极值点不是最值点,仅仅决定了导数的符号改变。

  当f’(x0) = 0时,称x0驻点,f(x0)为驻点值。原函数f(x)=3x-x3有±1两个驻点,对应的驻点值为±2。显然,极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点,因为驻点两侧的导数符号可能相同。如下图所示,y=x3的驻点x0=0,驻点两侧的导数符号相同,函数的增减性未发生变化:

拐点

  此时,我们已经得到原函数f(x)=3x-x3的两个极值点(1,2)(-1,-2),再将x=0代入,得到第三个点(0,0)。

  由于极值点确定了函数增减的改变,又知道f(x)=3x-x3是一个曲线,所以经过极值点的一定是一段弧线,f(x)的简图:

  

  由此可知f’’(x0)=0是原曲线的凹凸分界点,称x0为f(x)的拐点

  有了拐点信息后就可以知道曲线凹凸性,即切线的变化率。

无限远端

  还有一点无法在有限的二维平面内展现,就是曲线的无限远端,但这并不妨碍我们对其探索。

  由此可知曲线的两端向±∞方向无限延伸。

  可以根据上述信息构图:

双曲函数构图

  下面是如何对双曲线f(x) = (x+1)/(x+2)构图。

  双曲线函数有点特性了,在x=-2处没有定义,所以该函数是在x=-2处断开的。可以得到下面四个极限:

 

  根据上面的极限可确定曲线的四个端点,它们都是无限远端,可以画出如下草图:

  有点丑陋了,这不是我画的最漂亮的图。

  接下来补充中间缺失的部分,如何确定中间是平滑的?会不会出现波浪形?这些信息需要由驻点确定。

  f’(x)=1/(x+2)2, x≠-2

  由于f’(x) > 0,所有f(x)在-2的两侧都是递增的;由于f’(x) ≠0,所以f’(x)没有驻点,函数在-2的两侧的增减性不会发生改变。

  f’’(x) = -2/(x+2)3, x≠-2

  f’’(x) > 0,  -∞ < x < -2, 函数是凸的

  f’’(x) < 0,  -2 < x < +∞, 函数是凹的

  f’’(x) ≠ 0, 函数没有拐点

  二阶导数确定了曲线的弧度方向。

  至此可以构图:

构图的一般步骤

  构图的一般步骤:

  1. 描点,找出函数中奇点,即函数未定义的点
  2. 标出无限远端
  3. 标出驻点,即f’(x)=0的点;判断f’(x)在每个驻点或不连续点为端点的区间内的符号,由此判断函数的递增和递减性
  4. 观察二阶导数f’’的正负性,以便判断f(x)的凹凸,f’’(x)=0是拐点
  5. 组合1~4构图

示例

  f(x) = x/lnx

  按照上节的步骤构图。

  1.找出奇点

  当x=1是,lnx=0,f(x)无意义,奇点是x=1;由于使用了对数lnx,隐含的条件是x>0,所以可以得到下面两个极限:

  此外,还可以知道f(0) = 0

  2.标出无限远端

  由于x的定义域是(0, +∞)且x≠1,所以x只能从正向趋近于0;由于lnx是x的高阶无穷小,所以第二个极限是+∞。目前的草图:

  几乎可以断定剩余的部分的样子。

  3.找出驻点,判断函数的递增和递减

  f’(x) = 0,则x=e,f(e) = e/lne = e,仅有一个驻点

  f’(x) < 0,  0 < x<1, 1< x < e,函数递减;

  f’(x) > 0,  e < x,函数递增

  代入一些简单值作为修饰后就可以作图了,可以省略求二阶导数,图像不会差太多。本例还是继续计算二阶导数。

  4.观察二阶导数f’’的正负性,以便判断f(x)的凹凸

  f’’(x) < 0, 0 < x <1, 函数是凹的

  f’’(x) > 0, 1 < x < e2, 函数是凸的

  f’’(x) < 0, e2 < x, 函数是凹的

  f’’(x) = 0, x = e2, 拐点是e2

  至此,可以构图了:

构图结果

真实图像

总结

  1. 若在(a,b)内f’’(x) < 0,则f(x)在(a,b)上的图形是凹的,f’递减
  2. 若在(a,b)内f’’(x) > 0,则f(x)在(a,b)上的图形是凸的,f’递增
  3. 极值点,经过极值点后f’(x)的符号改变
  4. 驻点f’(x0)=0,x0是驻点,f(x0)是驻点值
  5. 拐点,经过拐点后,函数的凹凸性发生改变
  6. 利用构图的一般步骤为双曲线构图

 


 

  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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posted on 2017-09-19 22:55 我是8位的 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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