伽玛函数

　　伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。伽玛函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。

　　我们通常看到的伽玛函数是这样的：

　　这到底是个什么东西？有什么用？欧拉又是怎么发现它的？

　　欧拉大神

伽玛函数的起因

　　发现伽玛函数的起因是数列插值。数列插值问题，通俗地说就是把数列的通项公式从整数定义域扩展到实数。例如数列1,4,9,16,.....可以用通项公式n²表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说，就是可以找到一条平滑的曲线y = x²，该曲线能够通过所有的整数点(x, x²)，从而可以把定义在整数域的公式扩展到实数域。

　　1728年，哥德巴赫开始处理阶乘序列的插值问题：1,2,6,24,120,720,...，既然可以计算2!, 3!,…，是否可以计算2.5!呢？把最初的一些(n, n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，能够画出一条通过这些点的平滑曲线。问题是，这条曲线是什么？

　　哥德巴赫无法解决阶乘往实数域上扩展的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·贝努利和丹尼尔·贝努利两兄弟，由于欧拉当时正好和丹尼尔·贝努利在一块玩，他也因此得知了这个问题。之后欧拉于1729年完美地解决了这个问题，由此导致了伽玛函数的诞生。当时欧拉只有 22 岁，这让我感觉自己就是混吃等死的。

发现伽玛函数

　　在某一个特殊的时刻，欧拉发现阶乘n!可以用一个无穷乘积表示：

　　如果有m项乘积：

　　当m远远大于n时，上式可继续计算：

　　当m→∞时，无穷乘积的极限：

　　很难想像在没有计算机的年代能够发现这个变态的无穷乘积，估计欧拉当年是根据极限倒推无穷乘积，然后对外宣称在机缘巧合下发现了无穷乘积。

　　值得注意的是，n!明显不等于③，③又是由②整理而来的，因此n!也不等于②，而是在m→∞时n!等于②或③的极限。以n = 2为例，n! = 2，m是2、50、100时，②的结果分别是1.5、1.9615384615384617、1.980392156862745，展开的越多，越接近于n!。

　　有了这个无穷乘积，欧拉便开用1/2代入①进行尝试：

　　根号里面的东西是英国数学家沃利斯（John Wallis）在1665年写下的沃利斯公式：

　　于是欧拉把沃利斯公式折半：

　　π真是一个神奇的数字！

　　1665年牛顿还很小，还没有发明积分，沃利斯用各种巧妙的技巧得到了这个结论，推导过程实际上是在处理。受沃利斯的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分：

　　此处n为正整数，a为正实数。利用分部积分：

　　继续使用分部积分：

　　上面所有递推合并到一起就得到了最终的结果：

　　现在阶乘变成了积分的形式。然而这个式子的前提是n是正整数，无法推广到分数，欧拉继续研究如何化简这个表达式。a是一个任意实数，能否让a消失？一个惯用的方法是取极端值，a > 0的一个极端是无穷，看看让a趋近于无穷时会得到什么结果。这里欧拉使用的技巧是让a等于两个实数的商：

　　等式两侧同时除以(f+g)(f+2g)…(f+ng)：

　　当f→1，g→0时，左侧趋近于n!，但是右侧出现了讨厌的0分母，此时为了简化计算：

　　将上式结论代入④：

　　用求极限的方式去掉f和g：

　　当f→1，g→0时h→0，(1-t^h)/h的极限变成了0/0的形式，在洛必达法则的帮助下，0/0形和∞/∞形的极限也是可以求解的。令u(h) = 1-t^h，v(h) = h，根据洛必达法则：

　　于是在对⑤的等式两侧求极限时，神奇的一幕出现了：

　　任意实数a已经消失了，n!变成了一个简洁的积分形式。继续变换：

　　这就是欧拉最早定义的伽玛函数，实际上就是阶乘扩展到实数范围：

　　但是欧拉后来修改了伽玛函数的定义，变成了：

　　这也是现在我们所说的伽玛函数，⑥和⑦是两种表达，⑦更为常见，从积分域可以看出t和u的取值范围。

伽玛函数的性质

　　欧拉在伽玛函数的推导中实际上引入了两类积分形式：

　　后来这两个积分的参数做了-1的偏移，改为：

　　B(α, β)现在成为贝塔函数或贝塔积分，Γ(x)实际上是在计算x – 1的阶乘，两个函数之间存在一些很好的关系：

　　我们知道0! = 1，Γ(1)对此进行了解释：

　　来看一下Γ函数的曲线：

　　从Γ函数的曲线可以看出Γ函数是一个凸函数，logΓ也是一个凸函数：

　　下面的的matlib代码绘制了Γ(x)和logΓ(x)的曲线：

x = 0:0.1:10;
plot(x, gamma(x));
axis([0,4,0,6]);
xlabel('x');
ylabel('r(x)');
figure;
plot(x, lgamma(x));
axis([0,8,-1,6]);
xlabel('x');
ylabel('logr(x)');

伽玛分布

　　伽玛函数在概率统计中频繁现身，泊松分布、贝塔分布、狄克雷分布中都有伽玛函数的身影。当然，发生最直接联系的概率分布是直接由伽玛函数变换得到的伽玛分布。

　　为了便于看清伽玛分布，先把伽玛函数中的变量名称修改一下：

　　等式两侧同时除以Γ(α)：

　　这正好符合连续型概率分布的定义，被积函数就是伽玛分布的密度函数：

　　如果令u = βx，则：

　　于是我们得到了伽玛分布的一般形态：

　　其中α称为形状参数（shape parameter），决定了分布曲线的形状；β称为速率参数（rate parameter）或逆尺参数（inverse scale parameter），决定了曲线的陡峭程度：

$α$

　　可以看到， β之所以被称为逆尺参数，是因为1/β越大，曲线越陡峭。在matlab中，gamma分布的参数使用的是1/β：

x = 0:0.1:20;
a = [1 2 3 5 9];
b = [0.5 0.5 0.5 1 2];
L(1, 1) = {''};
for i = 1:size(a)(2)
g = gampdf(x, a(i), 1/b(i));
L(1, i) = ['alpha=', num2str(a(i)), ',beta=', num2str(b(i))];
plot(x, g, 'LineWidth',2);
hold on;
endfor

legend(L);
xlabel('x');
ylabel('f(x;alpha, beta)');
axis([0,20,0,0.5]);

　　概率统计中的众多分布都和Gamma分布有密切关系。以泊松分布为例，随机变量X服从参数为λ的泊松分布分布X~Po(X; λ)，其质量函数是：