异常检测(1)——局部异常因子算法

  局部异常因子算法(Local Outlier Factor)通过计算“局部可达密度”来反映一个样本的异常程度,一个样本点的局部可达密度越大,这个点就越有可能是异常点。

k距离和k距离邻域

  某一点P的k距离(k-distance)很容易解释,就是点P和距离点P第k近的点之间距离,但不包括P。假设P是学校,葛小伦、刘闯、赵信、蔷薇、琪琳、炙心6个同学都住在学校附近:

  图1

  为了简单前起见,将P放置在原点。用欧几里得距离表示每个同学的家到学校的距离,由近及远分别是葛小伦<刘闯<赵信<蔷薇=炙心<琪琳,距P最近的是葛小伦,第2近的是刘闯,第3近的是赵信,第4近的是蔷薇和炙心,第5近的是琪琳。

  当k=t时,在数据集中用下式表示x(i)的k距离,其中x(k=t)表示距x(i)第k远的数据样本:

  所谓P的k距离邻域(k-distance neighborhood of p),就是到P的直线距离小于P的k距离的所有数据样本构成的集合。在图9.1中,当k=3时,P的k距离邻域是{葛小伦、刘闯、赵信};当k=4时,P的k距离邻域是{葛小伦、刘闯、蔷薇、炙心}。

  可以把P看作圆心,把P的k距离看作半径做一个圆,圆中的样本点就是P的k距离邻域:

  图2

可达距离

  x(i)到x(j)的可达距离(Rechabiliby Distance)可以表示为:

  它的含义是,当x(i)距x(j)的距离比x(i)距x(k=t)更近时,直接用数值较大的|| x(i)- x(k=k)||表示x(i)到x(j)的可达距离,否则用|| x(i)- x(j)||表示。

  以图1为例,当k=3时,距P第3近的同学是赵信,P的k距离邻域是{葛小伦、刘闯、赵信},则P到他们的可达距离都等于学校到赵信家的距离;P到蔷薇、炙心、琪琳的可达距离与学校到她们的实际距离相等:

  由于以x(i)的k近距离和x(j)的k距离并不相等,所以x(i)到x(j)的可达距离和x(j)到x(i)的可达距离并不相等:

  图3

  在图3中,当k=2时,先计算x(1)到x(2)的可达距离,此时距x(1)第2近的点是x(4)

  再来看看x(2)到x(1)的可达距离,距x(2)第2近的点是x(3)

  由此可见:

局部可达密度

  点与点之间的密度很容易理解,点之间距离越远,密度越低,距离越近,密度越高。局部可达密度与总体密度类似,只不过是用k距离邻域计算的,所以称为“局部”。

  假设x(i)的k距离邻域中有N个样本点,用xN表示,xN(t)表示xN中的第t个样本点,那么x(i)的局部可达密度(local reachability density)可以写成:

  上式中x(i)的局部可达密度是x(i)的k距离邻域中所有样本点到x(i)的可达距离的平均值的倒数。 代表xN中样本点的密集程度,密集程度越高,该值越小,它的倒数(x(i)的局部可达密度)的值越大,x(i)和xN越可能是同一簇;反之,如果x(i)是异常数据,那么xN中的样本点到x(i)的可达距离将会取这些样本点到x(i)的直线距离,这个距离将远大于xN中样本点的k距离,最终导致较大,它的倒数(x(i)的局部可达密度)的值较小。简单而言,x(i)的局部可达密度越大,x(i)越靠近它邻域中的点;x(i)的局部可达密度越小,x(i)越远离它邻域中的点。

局部异常因子

  有了局部可达密度,就可以进一步定义局部异常因子(local outlier factor):

  上式的分子表示x(i)的k距离邻域中的所有样本点的局部可达密度的均值,分母是x(i)的局部可达密度。它实际上是通过比较x(i)的密度和其邻域的密度来判断x(i)是否是异常点,x(i)的密度越低,LRDk(x(i))越小,LOFk(x(i))的值越大,x(i)越可能是异常点;x(i)的密度越高,LRDk(x(i))越大,LOFk(x(i))的值越接近1或小于1,x(i)越可能是正常的样本点

算法实现

  我们已经介绍了局部异常因子算法,来看看它是如何工作的。先来创建一些测试数据:

 1 import numpy as np
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 
 4 def create_train():
 5     np.random.seed(42) # 设置seed使每次生成的随机数都相等
 6     # 生成100个2维数据,它们是以0为均值、以1为标准差的正态分布
 7     X_inliers = 0.3 * np.random.randn(100, 2)
 8     # 构造两组间隔一定距离的样本点作为训练数据
 9     X_inliers = np.r_[X_inliers + 2, X_inliers - 2]
10     # 构造20个可能的异常数据,从一个均匀分布[low,high)中随机采样
11     X_outliers = np.random.uniform(low=-4, high=4, size=(20, 2))
12     # 将X_inliers和X_outliers连接起来作为训练集
13     return np.r_[X_inliers, X_outliers]
14 
15 def display(X):
16     plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
17     plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决中文下的坐标轴负号显示问题
18     plt.title("局部异常因子(LOF)")
19     plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], color='k', s=3., label='样本点')
20 
21     plt.axis('tight') # 让坐标轴的比例尺适应数据量
22     plt.xlim((-5, 5)) # x坐标轴的刻度范围
23     plt.ylim((-5, 5)) # y坐标轴的刻度范围
24     # plt.xlabel("预测误差数: %d" % (n_errors))
25     legend = plt.legend(loc='upper left')
26     legend.legendHandles[0]._sizes = [10]
27     plt.show()

  create_train()创建了一个数据集,这个数据集中包含了两簇正常的样本和20个可能的异常样本,之所以是“可能的异常样本”,是由于X_outliers中的数据是随机采样的,可能靠近正常的样本簇:

  接下来按照前面的介绍依次实现数据集中每一个样本的k距离、k距离邻域、可达距离、局部可达密度和局部异常因子,并修改display(),将每个样本点的异常因子标记在图像上。完整代码:

 1 import numpy as np
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 
 4 def create_train():
 5     np.random.seed(42) # 设置seed使每次生成的随机数都相等
 6     # 生成100个2维数据,它们是以0为均值、以1为标准差的正态分布
 7     X_inliers = 0.3 * np.random.randn(100, 2)
 8     # 构造两组间隔一定距离的样本点作为训练数据
 9     X_inliers = np.r_[X_inliers + 2, X_inliers - 2]
10     # 构造20个可能的异常数据,从一个均匀分布[low,high)中随机采样
11     X_outliers = np.random.uniform(low=-4, high=4, size=(20, 2))
12     # 将X_inliers和X_outliers连接起来作为训练集
13     return np.r_[X_inliers, X_outliers]
14 
15 def display(X):
16     plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
17     plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决中文下的坐标轴负号显示问题
18     plt.title("局部异常因子(LOF)")
19     plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], color='k', s=3., label='样本点')
20 
21     max_lof, min_lof = max(LOF), min(LOF)
22     # 每个样本点的半径,样本点越异常,半径越大(归一化处理)
23     radius = [1000 * ((x - min_lof) / (max_lof - min_lof)) for x in LOF]
24     plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=radius, edgecolors='r', facecolors='none', label='异常度')
25 
26     plt.axis('tight') # 让坐标轴的比例尺适应数据量
27     plt.xlim((-5, 5)) # x坐标轴的刻度范围
28     plt.ylim((-5, 5)) # y坐标轴的刻度范围
29     # plt.xlabel("预测误差数: %d" % (n_errors))
30     legend = plt.legend(loc='upper left')
31     legend.legendHandles[0]._sizes = [10]
32     legend.legendHandles[1]._sizes = [20]
33     plt.show()
34 
35 D_K = [] # X中每个样本点的k距离
36 NEIGHBORS = [] # X中每个样本点的k距离邻域
37 LRD = [] # X中每个样本点的局部可达密度
38 
39 def euclid(x_i, x_j):
40     # 两点间的欧几里得距离
41     return np.linalg.norm(x_i - x_j)
42 
43 def all_D_k(X, k):
44     for x_i in X:
45         # x_i距所有样本点的欧几里得距离
46         x_and_d = [(x_j, euclid(x_i, x_j)) for x_j in X if (x_i != x_j).any()]
47         x_and_d = sorted(x_and_d, key=lambda x: x[1])  # 按照距离排序
48         D_K.append(x_and_d[k - 1][1]) # x_i的k距离,此处假设x_and_d中没有重复的距离
49         NEIGHBORS.append([x for x, d in x_and_d[:k]])  # x_i的k距离邻域
50     for x_i in X: # 计算每个样本点的局部可达密度
51         neighbors = neighbors_k(x_i, X, k)  # x_i的k邻域
52         LRD.append(1 / (sum([rd(x_t, x_i, X, k) for x_t in neighbors]) / len(neighbors)))
53 
54 def d_k(x, X, k):
55     # x的k距离
56     i = np.argwhere(X == x)[0, 0]  # x在训练样本中的索引
57     return D_K[i]
58 
59 def neighbors_k(x, X, k):
60     # x的k距离邻域
61     i = np.argwhere(X == x)[0,0] # x在训练样本中的索引
62     return NEIGHBORS[i]
63 
64 def rd(x_i, x_j, X, k):
65     # x_i到x_j的可达距离
66     return max(d_k(x_i, X, k), euclid(x_i, x_j))
67 
68 def lrd(x, X, k):
69     # x的局部可达密度
70     i = np.argwhere(X == x)[0, 0]  # x在训练样本中的索引
71     return LRD[i]
72 
73 def lof(X, k):
74     # 数据集中每个数据样本的局部异常因子
75     LOF = []
76     for i, x_i in enumerate(X):
77         neighbors = neighbors_k(x_i, X, k)  # x_i的k邻域
78         LOF.append(sum([lrd(x_t, X, k) for x_t in neighbors]) / len(neighbors) / lrd(x_i, X, k))
79     return LOF
80 
81 if __name__ == '__main__':
82     X = create_train()
83     k = 20
84     all_D_k(X, k) # 计算X中每个样本点的第k近的距离
85     LOF = lof(X,k)
86     display(X)
87 
88     for i, lof in enumerate(LOF):
89         print(lof, '\t', end='')
90         if (i + 1) % 7 == 0:
91             print()

  all_D_k将每个样本点的k距离、k距离邻域、局部可达密度缓存起来,以便后续计算局部异常因子时避免大量重复运算。

  每个样本的圆代表了该点的局部异常因子,圆的半径越大,该点越倾向于异常点:

  程序最后还显示了每个样本点的异常因子,最后20个样本的局部异常因子比其它值更大于1:

  在实际应用中,可以让所有异常因子和一个自定义的阈值比较,如果LOF(x(i))大于该阈值,则认为x(i)是异常数据。

  

  sk-lean中有关于局部异常因子的模块,可参考官方的示例:

  https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.neighbors.LocalOutlierFactor.html

 

 


   作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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posted on 2019-06-19 16:16 我是8位的 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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