递归的逻辑(4)——递归与分形

　　《最强大脑》第四季的一期节目中，挑战者余彬晶挑战的项目是“分形之美”。这是一个数学推理项目，章子怡女神和不懂球的胖子都一脸迷茫。

分形的概念

　　分形（Fractal）一词，是曼德布罗特创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

　　分形通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有自相似的性质。”

　　分形图无处不在，绵延的海岸线，从远距离观察，其形状是极不规则的，但是从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似；一颗参天大树，它的每一片叶子和枝干，都和主枝显现出了高度的相似性；一片雪花的每片花瓣都在放大后都显出了原图案惊人的相似性。

　　既然分形图的每一部分都是整体的缩小，那么很自然地会联想到自身调用自身的程序。我们尝试用递归去绘制一颗分形树，下图是绘制的目标：

极坐标系下的向量旋转

　　虽然绘制的目标是二维图形，但是比起刻度尺来，树的坐标关系要复杂的多，继续在直角坐标系下处理就显得有点笨拙了，此时不妨试试极坐标。

　　极坐标用向量的长度和角度来表示坐标中的点，一个典型的极坐标如下：

　　r是向量的长度，φ是向量与x轴逆时针方向的夹角，点t可以用(r,φ)来表示。可以看出，极坐标系仍未脱离原来的直角坐标系，仅仅是将直角坐标系上的点换了一种表示法，如果将点t 转换成直角坐标系的表示法，那么：

　　这也是极坐标到直角坐标的转换公式。

　　接下来将向量逆时针旋转θ，得到新的t’点：

　　t’点的坐标：

　　树的主干垂直于x轴，简单起见，可以让它附着在y轴上，这相当于φ等于90°：

　　接下来，把一个稍短的向量r’向左旋转θ角得到点B，向右旋转-θ角得到点C：

　　如此一来可以得到B和C的坐标：

　　作为树的枝干，还需要将两个新向量上移，让它们以A为起点：

　　现在得到了树的两个枝干以及枝干端点的坐标：

　　继续按照上述方法进行下去将会得到更多的枝干：

编写代码

　　知道原理后就可以编写相关代码：

 1 class Fractal:
 2     def __init__(self, fai, theta, depth):
 3         '''
 4             分形图的基础形状
 5             Attributes：
 6                 fai：        向量的初始角度
 7                 theta：      向量每次逆时针旋转的角
 8                 depth：      树的深度， 当depth == 0时停止分形
 9         '''
10         self.fai = fai
11         self.theta = theta
12         self.depth = depth
13
14     def draw(self, ax):
15         def draw_line(x1, y1, fai, depth, ax):
16             if depth == 0:
17                 return
18             # 由于np.cos和np.sin使用的参数是弧度，所以需要先把角度转换成弧度
19             radian = np.radians(fai)
20             # 旋转后的坐标
21             x2 = x1 + np.cos(radian) * depth
22             y2 = y1 + np.sin(radian) * depth
23             ax.plot([x1, x2], [y1, y2], color='g')
24             draw_line(x2, y2, fai + self.theta, depth - 1, ax)
25             draw_line(x2, y2, fai - self.theta, depth - 1, ax)
26         draw_line(0, 0, self.fai, self.depth, ax)
27
28 if __name__ == '__main__':
29     fig, ax = plt.subplots()
30     plt.axis('off')
31     plt.axis('equal')
32     fractal = Fractal(90, 30, 8)
33     fractal.draw(ax)
34     plt.show()

　　我们用数的深度表示向量的长度，每一层枝干的长度都比上一层少1，直到深度是0为止。每一层枝干都是由上一层枝干的终点坐标、偏斜角和枝干长度决定的。fai的初始值是90°，用draw_line(0, 0, 90, depth)来画树的主干，这样才能保证主干是附着在y轴上，主干的终点坐标：

弧度和角度的转换公式是1rad=180°/π，π是无限不循环小散，因此python中这个转换是不精确的。如果直接运行np.cos(np.radians(90))，不会得到0，而是得到6.123233995736766e-17，这是一个相当小的数，可以当作0处理。

　　运行结果如下：

　　可以通过改变初始深度来观察树的分型过程：

if __name__ == '__main__':
    # 观察分形过程
    fig = plt.figure()
    for i in range(1, 9):
        ax = fig.add_subplot(3, 3, i)
        fractal = Fractal(90, 30, i)
        plt.axis('off')
        plt.axis('equal')
        plt.title('depth=' + str(i))
        fractal.draw(ax)
    plt.show()