bigbigli_大大李

CSP-J2019 把8个同样的球放在同样的5个袋子里,允许有的袋子空着不放,问共有多少种不同的分法?

把8个同样的球放在同样的5个袋子里,允许有的袋子空着不放,问共有多少种不同的分法?

提示:如果8个球都放在一个袋子里,无论是放哪个袋子,都只算同一种分法。

解析:

把问题合成,先思索5个袋子都不空的状况,再思索4个袋子不空的状况,以此类推,最后思索只运用一个袋子的状况(这种分法只要1种),把一切子状况的分法数相加求出总分法。

进一步剖析,运用k个袋子装n个球(袋子不空),一共有几种分法的问题能够转化为k个数相加等于n的种数问题。

运用5个袋子装8个球则有3种:

1+1+1+1+4 = 8

1+1+1+2+3 = 8

1+1+2+2+2 = 8

运用4个袋子分8个球则有5种:

1+1+1+5=8

1+1+2+4=8

1+1+3+3=8

1+2+2+3=8

2+2+2+2=8

运用3个袋子分8个球则有5种:

1+1+6=8

1+2+5=8

1+3+4=8

2+2+4=8

2+3+3=8

运用2个袋子分8个球则有4种:

1+7=8

2+6=8

3+5=8

4+4=8

运用1个袋子装8个球则有1种:

8=8

因而,该问题的答案即为一切子状况下的和,3+5+5+4+1 = 18。

扩展局部:
关于将一个整数 N 合成成 K 个不为0的数之和,能够应用递归加动态规划来停止快速运算。

递推公式为:

f(n, k) = f(n-1, k-1) + f(n-k, k)

递归出口为:

f(n, k) = 1, 当 k == 1 或 n == k;(很明显,只要一个袋子,或者袋子数和球数相同时只要一种分法)

f(n, k) = 0, 当 n < k;(球数比袋子数少,则必然存在尚未应用的袋子,无解)

接下来停止剖析:

f(n-1, k-1)怎样了解呢,就是把第 1 个数放成 1,然后把剩下的 n-1 这个数分红 k-1 份。f(n-1, k-1)就是原n,k问题中第一个数是 1 的一切分的办法数;
f(n-k, k) 就是原n,k问题中第一个数不是 1(大于1),能够分的办法数。这是一个关键点。认真剖析,相当于给 k 个位置,每个位置先放一个 1,(相当于每个袋子都有1个球)。接下来剩下的 n-k ,这个数字再往这 k 个位置上分,(相当于把剩下的球分给袋子,仍保证应用一切袋子)这能够保证第一个位置至少比1大(第一个袋子的球数大于1)。

来源:知乎Ron Tang

posted @ 2020-08-18 12:05  bigbigli  阅读(2611)  评论(0编辑  收藏