Hits算法

Hits算法背景

假定现在有很多网页，每个网页会有一些链接指向其他网页。

在Hits算法中每个网页被赋予两个值：hub和authority，记为\(h_i\)和\(a_i\)。

一个网页实质性内容的质量越高，就说它的authority值越高；如果一个网页中链接指向的网站质量越高，就说它的hub值越高。显然一个authority值较高的网页会被较多网页所指向。

于是我们定义一个网页的authority值为所有指向它的网页的hub值之和，一个网页的hub值为它所指向的网页的authority值之和。Hits算法就是在给出网页链接的情况下，通过迭代求出每个网页的authority和hub值。

Hits算法流程

设网页间的邻接矩阵为\(M\)，也就是\(M_{i,j}=1\)表示网页\(i\)指向网页\(j\)。一开始假定每个网页的authority值和hub值均为1，然后进行迭代，

每次进行如下操作$$a_i=\sum_{k=1}^nM_{k,i}h_k$$

\[h_i=\sum_{k=1}^nM_{i,k}a_k \]

然后把\(a\)向量和\(h\)向量标准化。
可以设置一个迭代次数的上限或是当变化量小于某个阈值时结束，就得到了每个网站的authority值和hub值。

Hits算法证明

假定\(a^k,h^k\)为操作\(k\)次后的\(a,h\)向量，那么有$$a^k=MTh^{k-1}$$

\[h^k=Ma^k \]

可以发现$$a^k=(MTM)^ka0$$

\[h^k=(MM^T)^kh^0 \]

显然\(MM^T\)和\(M^TM\)均为实对称矩阵，又因为一个实对称矩阵必有\(n\)个特征值，并且其特征向量两两正交，设\(MM^T\)特征值从大到小为\(c_1,\dots,c_n\)，对应的特征向量为\(z_1,\dots,z_n\)，因此\(h^0\)可由其特征向量线性表出，设为$$MM^T=q_1z_1+\dots+q_nz_n$$
那么$$(MM^T)kh_0$$

\[=(MM^T)^k(q_1z_1+\dots+q_nz_n) \]

又因为\((MM^T)z_i=c_iz_i\)，因此上式$$=q_1(c_1)^{kz_1+\dots+q_n(c_n)}kz_n$$
又因为每次会对向量进行标准化，可以发现最终\(h^k\)向量会收敛到\(MM^T\)的主特征向量，同理\(a^k\)也会收敛，于是我们就证明了这个算法是会收敛的。