day2 线性代数--矩阵

1.定义

1.同型矩阵

两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称它们是同型矩阵. 如果A = (a) 与B = (b)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即 aj = b (i =1,2,, m;j =1,2,,n), 那么就称矩阵A与矩阵相等,记作 A= B.

2.单位矩阵

叫做恒等变换,它对应的一个n 阶方阵，做n 阶单位矩阵,简称单位阵,这个方阵的特点是:从左上角到右下角的直线 (叫做(主)对角线)上的元素都是1,其他元素都是0.即单位阵 E 的(i,j)元为

3.矩阵加法A+B和减法A-B

4. 矩阵的乘法---行乘列

在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序. AB 是A左乘B(B 被A 左乘)的乘积,BA 是 A 右乘B的乘积, AB 有意义时, BA 可以没有意义. 又若A 是m×n矩阵,B是nm 矩阵,则 AB与BA 都有意义,但AB是m阶方阵,BA 是n 阶方阵,当m≠n时AB≠BA,即使 m = n,即A,B是同阶方阵, 如例5,4与都是2阶方阵,从而AB 与BA 也都是2阶方阵,但AB 与BA仍然可以不相等,总之,矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情形下,ABBA.

5.矩阵的规律
矩阵不满足交换律却满足结合律和分配率

矩阵的乘法虽不满足交换律,但仍满足下列结合律和分配律(假设运算都是可行的): (i) (AB) C= A (BC); (ii) 入(AB) = (入A)B = A (入B) (其中入为数); (iii) A(B + C) = AB + AC, (B+C)А = BA + СА. 对于单位矩阵 E,容易验证或简写成 EA" =A, Ax"E,= Aхи EA = AE = A. 可见单位矩阵E 在矩阵乘法中的作用类似于数1.

6.纯量阵量阵--入E

(E) A = A, A (E) = MA,可知纯量阵 AE 与矩阵A的乘积等于数入与A 的乘积,并且当A为n 阶方阵时,有 (λΕ,) Α = λΑ, = Α, (λΕ,), 表明纯量阵 AE 与任何同阶方阵都是可交换的.

7.矩阵的幂

又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个阶矩阵 A与B,一般说来(AB)2≠A2B2,只有当A与可交换时,才有(AB) = A B. 类似可知,例如(A+B)2 = A2 + 2AB + B2, (A-B) (A + B) = A2 - B2 等公式,也只有当A与B 可交换时才成立,;

8.矩阵旋转向量