【数据结构】最小生成树

最小生成树

前置知识

并查集
图论

概念

条件

最小生成树的满足条件为：

在无向图中选取总权值最少的边让所有点连通。
要求结果是一棵树，边数比点数少 \(1\)。

当然，最小生成树的结果可能不唯一。

特性

图中任意一条非树边都会和树边构成一个环。
非树边一定是环中最大的边。否则可以替换掉最大的边，得到一个更小生成树。

其他

最小生成树有两种算法：Kruskal 和 Prim。

Kruskal 是在并查集的基础上展开。

Prim 是在最短路的基础上展开。

Kruskal

介绍

我们可以从选边的角度来构造生成树，通过点的连通性来对边的选取进行判断。

我们按权值由小到大选择不成环的边加入树中。（由树的特性可知，成环时该边一定是环中最大的边，不应该选取）。如果选出的边比点数少 \(1\)，说明最小生成树存在，否则不存在。

那么如何快速的判断是否成环？我们可以使用并查集来合并点及判断点的连通性。

步骤

读入所有边并初始化并查集（\(f_i = i\)）。
按权值排序。
合并所有边并计算答案。
输出。

Prim

可以从选点的角度来构造生成树，不断将新的点拉入生成树中。

步骤

读入所有边。
把所有点的距离设为 \(\infty\)，并将任意一点距离设为 \(0\)。
寻找没有进入生成树且距离最小的点进入生成树并累加距离到答案。
更新相邻点距离。
重复 \(3, 4\) 步直到所有点进入生成树。
输出。

证明

假定当前的生成树为 \(A\)，且 \(x\) 是离生成树最近的点。如果 \(x\) 与 \(A\) 的边在最终的生成树中，那么现在可以将 \(x\) 拉入生成树中。如果 \(x\) 与 \(A\) 相连的边不在最终的生成树中，那么 \(x\) 必然要通过另一个当前与 \(A\) 直接相连的点 \(y\)，间接与 \(A\) 相连。那么 \(xA,yA,xy\) 构成环，且 \(xA\) 比 \(yA\) 更短，替换后可以得到更小生成树。

例题 1（洛谷 P3366 【模板】最小生成树）

给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

原题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3366

【Kruskal】

代码是以前写的，可能不好看。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define qwq ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 200000 + 20, M = 5000 + 50;

struct node {
  int x, y, z;
  friend bool operator<(const node &a, const node &b) {
    return a.z < b.z;
  }
};

node edge[N];
int n, m, x, y, z, f[M], l[M], ans = 0;
bool b = 1;

int find(int i) {
  if (f[i] == i)
    return i;
  return f[i] = find(f[i]);
}

void merge(int u, int v) {
  u = find(u), v = find(v);
  if (l[u] > l[v]) {
    swap(l[u], l[v]);
  }
  f[u] = v;
  l[v] += l[u];
}

int main() {
  qwq;
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    f[i] = i, l[i] = 1;
  }
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    cin >> edge[i].x >> edge[i].y >> edge[i].z;
  }
  sort(edge + 1, edge + m + 1);
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    if (find(edge[i].x) == find(edge[i].y))
      continue;
    merge(edge[i].x, edge[i].y);
    ans += edge[i].z;
    if (l[find(edge[i].x)] == n || l[find(edge[i].y)] == n) {
      b = 0;
      break;
    }
  }
  if (b)
    cout << "orz";
  else
    cout << ans;
  return 0;
}

【Prim】

（摘自洛谷题解）

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define R register int
using namespace std;

int k, n, m, cnt, sum, ai, bi, ci, head[5005], dis[5005], vis[5005];

struct Edge
{
  int v, w, next;
} e[400005];

void add(int u, int v, int w)
{
  e[++k].v = v;
  e[k].w = w;
  e[k].next = head[u];
  head[u] = k;
}

typedef pair<int, int> pii;
priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>> q;

void prim()
{
  dis[1] = 0;
  q.push(make_pair(0, 1));
  while (!q.empty() && cnt < n)
  {
    int d = q.top().first, u = q.top().second;
    q.pop();
    if (vis[u])
      continue;
    cnt++;
    sum += d;
    vis[u] = 1;
    for (R i = head[u]; i != -1; i = e[i].next)
      if (e[i].w < dis[e[i].v])
        dis[e[i].v] = e[i].w, q.push(make_pair(dis[e[i].v], e[i].v));
  }
}

int main()
{
  memset(dis, 127, sizeof(dis));
  memset(head, -1, sizeof(head));
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (R i = 1; i <= m; i++)
  {
    scanf("%d%d%d", &ai, &bi, &ci);
    add(ai, bi, ci);
    add(bi, ai, ci);
  }
  prim();
  if (cnt == n)
    printf("%d", sum);
  else
    printf("orz");
}

例题 2（洛谷 P1550 [USACO08OCT] Watering Hole G）

Farmer John 决定将水引入到他的 \(n\) 个农场。他准备通过挖若干井，并在各块田中修筑水道来连通各块田地以供水。在第 \(i\) 号田中挖一口井需要花费 \(W_i\) 元。连接 \(i\) 号田与 \(j\) 号田需要 \(P_{i,j}\)（\(P_{j,i}=P_{i,j}\)）元。

每次输入 \(w_i\) 时，把 \(i\) 和 \(n + 1\) 连接，边权为 \(w_i\)。

然后在输入 \(p\) 数组后，套一个双层循环，如果 \(i \neq j\)，把 \(i\) 和 \(j\) 连接
，边权为 \(p_{i, j}\)。

存完边之后按照边权排序。排序后跑一遍 Kruskal 即可。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;

using ll = long long;

#define mtest for (cin >> t; t; -- t)

const int kMaxN = 1e5 + 10, kMaxM = 1010, kInf = (((1 << 30) - 1) << 1) + 1;
const ll kLInf = 9.22e18;

int n, w[kMaxN], f[kMaxN], p[kMaxM][kMaxM], ans = 0;

struct node {
  int u, v, w;
} e[kMaxN];

int F(int x) {
  return f[x] == x? x : f[x] = F(f[x]);
}

bool cmp(node a, node b) {
  return a.w < b.w; // 注意是 <
}

void U(int u, int v, int w) {
  int x = F(u), y = F(v);
  if (x != y) {
    f[f[u]] = f[v];
    ans += w;
  }
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n;
  for (int i = 1; i - 1 <= n; ++ i) { // 初始化
    f[i] = i;
  }
  int id = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) { // 村边
    e[++ id].u = i;
    e[id].v    = n + 1;
    // i & n + 1 连接
    cin >> e[id].w;
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
      cin >> p[i][j];
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
      if (i == j) {
        continue;
      }
      e[++ id].u = i;
      e[id].v = j;
      // i & j 连接
      e[id].w = p[i][j];
    }
  }
  sort(e + 1, e + id + 1, cmp); // 按边权排序
  for (int i = 1; i <= id; ++ i) { // 跑 Kruskal 
    U(e[i].u, e[i].v, e[i].w); 
  }
  cout << ans << '\n';
  return 0;
}

关联习题

洛谷 P1194 / P1195 / P1396 / P2330 / P2700 / P4047。
CF / AT 上面关于最小生成树的题。

posted @ 2023-12-23 17:08 beautiful_chicken233 阅读(177) 评论(0) 收藏举报

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