【算法】枚举

枚举

概念

枚举的思想是不断地猜测，从可能的集合中一一尝试，然后再判断题目的条件是否成立。但是并非所有的情况都要枚举，有时要适当的进行一些剪枝。（如枚举 \(a + b = c\) 且 \(b > a\) 的个数那么 \(b\) 要从 \(a + 1\) 开始枚举）。

通常来说，我们可以限定枚举的范围让它的复杂度更高。虽然这是一种非常基础的算法，但是后面的很多算法都是基于枚举来实现的。

例题 1

给出 \(n\) 个数 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 和 \(x\)，求有多少对 \(i, j\) 满足 \(a_i + a_j = x\) 且 \(j > i\)。(\(1 \le n \le 10^3\)，\(1 \le a_i \le 10^9\)）。

我们可以先枚举 \(i\)，从 \(1\) 枚举到 \(n\)。每次枚举到一个 \(i\) 时枚举 \(j\)，从 \(i + 1\) 枚举到 \(n\)（因为 \(j > i\)）。每枚举到一个 \(i, j\) 时判断条件 \(a_i + a_j = x\)，如果满足把答案 \(+1\)。时间复杂度 \(O(n^2)\)。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>

using namespace std;

using ll = long long;

const int kMaxN = 1010, kInf = (((1 << 30) - 1) << 1) + 1;

int n, x, a[kMaxN], ans = 0; // ans 是满足条件的个数
const ll kLInf = 9.22e18;

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
  cin >> n >> x; // 输入 n, x
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    cin >> a[i]; // 输入 ai
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) { // 枚举 i，范围 1 至 n
    for (int j = i + 1; j <= n; ++ j) { // 枚举 j，范围 i + 1 至 n
      (a[i] + a[j] == x) && (++ ans); // 如果 ai + aj = x，那么答案 +1（if 压缩）
    }
  }
  cout << ans << '\n'; // 输出答案
  return 0;
}

例题 2

猪猪 Hanke 特别喜欢吃烤鸡（本是同畜牲，相煎何太急！）Hanke 吃鸡很特别，为什么特别呢？因为他有 \(10\) 种配料（芥末、孜然等），每种配料可以放 \(1\) 到 \(3\) 克，任意烤鸡的美味程度为所有配料质量之和。现在， Hanke 想要知道，如果给你一个美味程度 \(n\) ，请输出这 \(10\) 种配料的所有搭配方案。（\(1 \le n \le 5000\)）

我们可以枚举每一种调料放多少克，最后如果加起来正好等于 \(n\) 就把答案 \(+1\)。输出答案后再枚举一遍，输出每种调料放多少克。注意：如果答案 \(=0\)，那么直接退出程序，因为不会有搭配方案。

代码：

for (int i = 1; i <= 3; ++ i) {
  for (int j = 1; j <= 3; ++ j) {
    for (int k = 1; k <= 3; ++ k) {
      for (int l = 1; l <= 3; ++ l) {
        for (int p = 1; p <= 3; ++ p) {
          for (int o = 1; o <= 3; ++ o) {
            for (int u = 1; u <= 3; ++ u) {
              for (int m = 1; m <= 3; ++ m) {
                for (int y = 1; y <= 3; ++ y) {
                  for (int t = 1; t <= 3; ++ t) {
                    if (i + j + k + l + p + o + u + m + y + t == n) {
                      ++ ans;
                    }
                  }
                }
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }
}
cout << ans << '\n';
if (!ans) {
  return 0;
}
for (int i = 1; i <= 3; ++ i) {
  for (int j = 1; j <= 3; ++ j) {
    for (int k = 1; k <= 3; ++ k) {
      for (int l = 1; l <= 3; ++ l) {
        for (int p = 1; p <= 3; ++ p) {
          for (int o = 1; o <= 3; ++ o) {
            for (int u = 1; u <= 3; ++ u) {
              for (int m = 1; m <= 3; ++ m) {
                for (int y = 1; y <= 3; ++ y) {
                  for (int t = 1; t <= 3; ++ t) {
                    if (i + j + k + l + p + o + u + m + y + t == n) {
                      cout << i << ' ' << j << ' ' << k << ' ' << l << ' ' << p << ' ' << o << ' ' << u << ' ' << m << ' ' << y << ' ' << t << '\n';
                    }
                  }
                }
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }
}

但是，我们发现，如果可以有 \(k\) 种材料选择，那么这题用普通的枚举就很难办了，因此，有人发明了“更优秀的枚举”————搜索（后面会讲）。