丘维声《高等代数》5.3 节定理 3 证明梳理

定理. 非齐次线性方程组 \(\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{\beta}\) 有解的充分必要条件是 \(\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{AA}^-\boldsymbol{\beta}\).

证明. 必要性. 设 \(\boldsymbol{\alpha}\) 是方程组的解，从而$\boldsymbol{\beta }=\boldsymbol{A\alpha }=\boldsymbol{AA}^-\boldsymbol{A\alpha }=\boldsymbol{AA}^-\boldsymbol{\beta }. $

充分性. 设 \(\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{AA}^-\boldsymbol{\beta}\)，则 \(\boldsymbol{A}^-\boldsymbol{\beta}\) 就是方程组的解. \(\square\)

定理. 非齐次线性方程组 \(\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{\beta}\) 有解时，它的通解为 \(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^-\boldsymbol{\beta}\).

证明. 首先证明对方程组的任意一个解 \(\boldsymbol{\gamma}\)，总存在一个 \(\boldsymbol{A}\) 的广义逆 \(\boldsymbol{A}^-\)，使得 \(\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{A}^-\boldsymbol{\beta}\). 然后证明对矩阵 \(\boldsymbol{A}^-\) 的任一广义逆 \(\boldsymbol{A}^-\)，\(\boldsymbol{A}^-\boldsymbol{\beta}\) 均为方程组的解，我们就完成了证明.

（1）设已知 \(\boldsymbol{\gamma}\) 是方程组的解，设 \(\mathrm{rank}(\boldsymbol{A})=r\)，从而存在 \(s\) 级可逆阵 \(\boldsymbol{P}\) 及 \(n\) 级可逆阵 \(\boldsymbol{Q}\)，使得

\[\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\left( \begin{matrix} \boldsymbol{I}_r& \boldsymbol{O}\\ \boldsymbol{O}& \boldsymbol{O}\\ \end{matrix} \right) \boldsymbol{Q}, \]

代入整理得

\[\begin{equation}\label{eq:5.3} \left( \begin{matrix} \boldsymbol{I}_r& \boldsymbol{O}\\ \boldsymbol{O}& \boldsymbol{O}\\ \end{matrix} \right) \boldsymbol{Q\gamma }=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\beta }. \end{equation} \]

为了求使得 \(\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{A}^-\boldsymbol{\beta}\) 的 \(\boldsymbol{A}^-\)，不妨考虑等价的条件：\(\boldsymbol{Q\gamma}=\boldsymbol{QA}^-\boldsymbol{\beta}\)，\(\boldsymbol{A}\) 的广义逆 \(\boldsymbol{A}^-\) 总具有如下的形式：

\[\boldsymbol{A}^-=\boldsymbol{Q}^{-1}\left( \begin{matrix} \boldsymbol{I}_r& \boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{C}& \boldsymbol{D}\\ \end{matrix} \right) \boldsymbol{P}^{-1}. \]

即考虑约束条件

\[\begin{equation}\label{eq:5.4} \boldsymbol{QA}^-\boldsymbol{\beta }=\boldsymbol{QQ}^{-1} \left( \begin{matrix} \boldsymbol{I}_r& \boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{C}& \boldsymbol{D}\\ \end{matrix} \right) \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\beta }=\left( \begin{matrix} \boldsymbol{I}_r& \boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{C}& \boldsymbol{D}\\ \end{matrix} \right) \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\beta }=\boldsymbol{Q\gamma } \end{equation} \]

以下构造出符合条件的 \(\boldsymbol{B},\boldsymbol{C},\boldsymbol{D}\)，作分块

\[\boldsymbol{Q\gamma }=\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{Y}_1\\ \boldsymbol{Y}_2\\ \end{array} \right) ,\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\beta }=\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{Z}_1\\ \boldsymbol{Z}_2\\ \end{array} \right) , \]

其中 \(\boldsymbol{Y}_1\in K^r\)，\(\boldsymbol{Y}_2\in K^{n-r}\)，\(\boldsymbol{Z}_1\in K^r\)，\(\boldsymbol{Z}_2\in K^{s-r}\). 代入式 \eqref{eq:5.3} 得到

\[\left( \begin{matrix} \boldsymbol{I}_r& \boldsymbol{O}\\ \boldsymbol{O}& \boldsymbol{O}\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{Y}_1\\ \boldsymbol{Y}_2\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{Y}_1\\ \mathbf{0}\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{Z}_1\\ \boldsymbol{Z}_2\\ \end{array} \right) \]

从而 \(\boldsymbol{Y}_1=\boldsymbol{Z}_1\)，\(\boldsymbol{Z}_2=\mathbf{0}\). 代入式 \eqref{eq:5.4} 得到

\[\boldsymbol{QA}^-\boldsymbol{\beta }=\left( \begin{matrix} \boldsymbol{I}_r& \boldsymbol{B}\\ \boldsymbol{C}& \boldsymbol{D}\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{Z}_1\\ \mathbf{0}\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{Z}_1\\ \boldsymbol{CZ}_1\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{Y}_1\\ \boldsymbol{Y}_2\\ \end{array} \right) . \]

因此只需要 \(\boldsymbol{Y}_2=\boldsymbol{CZ}_1\) 即可，由于 \(\boldsymbol{\beta}\ne\mathbf{0}\)，所以 \(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{\beta}\ne\mathbf{0}\)，进而 \(\boldsymbol{Z}_1\ne \mathbf{0}\). 记 \(\boldsymbol{Y}_1=\boldsymbol{Z}_1=(b_1,b_2,\cdots,b_r)'\)，其中 \(\exists 1\leqslant i\leqslant r\)，\(b_i\ne 0\). 因此令
\begin{equation}\label{eq:5.5}
\boldsymbol{C}=\left( \mathbf{0},\cdots ,\mathbf{0},\frac{1}{b_i}\boldsymbol{Y}_2,\mathbf{0},\cdots ,\mathbf{0} \right),
\end{equation}
即列向量组中第 \(i\) 个向量为 \(\frac{1}{b_i}\boldsymbol{Y}_2\)，其余列全零，这样

\[\boldsymbol{CZ}_1=\left( \mathbf{0},\cdots ,\mathbf{0},\frac{1}{b_i}\boldsymbol{Y}_2,\mathbf{0},\cdots ,\mathbf{0} \right) \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_r\\ \end{array} \right) =\boldsymbol{Y}_2 \]

因此对于方程组的任一解 \(\boldsymbol{\gamma}\)，总可以取 \(\boldsymbol{A}\) 的广义逆为

\[\boldsymbol{A}^-=\left( \begin{matrix} \boldsymbol{I}_r& \boldsymbol{O}\\ \boldsymbol{C}& \boldsymbol{O}\\ \end{matrix} \right) , \]

其中 \(\boldsymbol{C}\) 由式 \eqref{eq:5.5} 确定，使得 \(\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{A}^-\boldsymbol{\beta}\).

（2）而对于 \(\boldsymbol{A}\) 的任一广义逆 \(\boldsymbol{A}^-\)，故 \(\boldsymbol{AA}^-\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}\)，因此 \(\boldsymbol{A}^-\boldsymbol{\beta}\) 是方程组的解. 我们完成了证明. \(\square\)