[JSOI2016]无界单词

题目

题意：求\(\rm border\)长度为\(0\)的\(n\)位\(0,1\)字符串个数，并求字典序第\(k\)小的那一个。

首先是计数，正向不是很好算，考虑正难则反；设\(f_i\)表示长度为\(i\)的\(\rm |border|=0\)的串的个数

一个串可能有多个\(\rm border\)，我们考虑在其最小的\(\rm border\)长度\(j\)时计算它

则有\(f_i=2^i-\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{i}{2}\rfloor}f_j2^{i-2\times j}\)；不用考虑长度大于\(\lfloor \frac{i}{2}\rfloor\)的\(\rm border\)是因为当\(\rm border\)长度大于\(\lfloor \frac{i}{2}\rfloor\)的时候一定存在一个小于\(\lfloor \frac{i}{2}\rfloor\)的\(\rm border\)。

第二问，考虑大力二分；二分一个串，求所有字典序小于等于这个串中，\(\rm border=0\)的有多少个

设\(g_{0,i}\)表示长度为\(i\)且字典序严格小于当前串的前\(i\)位的串的个数；\(g_{1,i}\)表示长度为\(i\)且等于当前串的前\(i\)位的串的个数；不难发现\(g_{1,i}=[i\notin \rm Border]\)

还是跑上面那个容斥，从\(g_{1,j}\)向\(g_{0,i}\)转移的时候要在套一个二分判断一下

代码，其中有一些诡异的行为都是为了防爆unsigned long long

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define LL unsigned long long
int n,T;LL m,f[66],v[66];
LL g[2][66];int nxt[66],a[66];
inline void split(LL nw) {
	for(re int i=1;i<=n;i++) a[i]=nw>>(n-i)&1;
}
inline LL Calc(LL val,LL R,int i,int j,LL H) {
	LL L=0,k=0;
	while(L<=R) {
		LL mid=(L>>1ull)+(R>>1ull);
		if((L&1ull)&&(R&1ull)) mid++;
		LL t=(((val<<i)|mid)<<j)|val;
		if(t<H) k=mid+1,L=mid+1;else {if(mid) R=mid-1;else break;}
	}
	return k;
}
inline LL calc(LL nw) {
	split(nw);nxt[1]=0;
	for(re int i=2;i<=n;i++) {
		int p=nxt[i-1];
		while(a[p+1]!=a[i]&&p) p=nxt[p];
		if(a[p+1]==a[i]) nxt[i]=p+1;else nxt[i]=0;
	}
	memset(g,0,sizeof(g));
	LL x=a[1];g[1][1]=1;
	if(x) g[0][1]=1;v[1]=x;
	for(re int i=2;i<=n;i++) {
		x=(x<<1ull)|a[i];v[i]=x;
		g[0][i]=x;
		for(re int j=1;j+j<=i;++j) {
			g[0][i]-=g[0][j]*(1ull<<(i-j-j));
			if(g[1][j]) g[0][i]-=Calc(v[j],(1ull<<(i-j-j))-1,i-j-j,j,x);
		}
		if(!nxt[i]) g[1][i]=1;
	}
	return g[0][n]+g[1][n];
}
int main() {
	scanf("%d",&T);f[1]=2;
	while(T--) {
		std::cin>>n>>m;
		for(re int i=2;i<=n;i++) {
			f[i]=1ull<<(i-1);f[i]--;f[i]+=1ull<<(i-1);
			for(re int j=1;2*j<=i;++j) f[i]-=(1ull<<(i-2*j))*f[j];
			f[i]++;
		}
		std::cout<<f[n]<<std::endl;
		LL l=0,r=(1ull<<(n-1)),ans=0;r+=r-1;
		while(l<=r) {
			LL mid=(l>>1ull)+(r>>1ull);
			if((l&1ull)&&(r&1ull)) mid++;
			if(calc(mid)>=m) {ans=mid;if(mid) r=mid-1;else break;}
			else l=mid+1;
		}
		split(ans);
		for(re int i=1;i<=n;i++)putchar(a[i]+'a');puts("");
	}
}