莫队

普通莫队

莫队一般用于处理区间询问，且从当前区间 \([l,r]\) 移到相邻区间时间复杂度花费不大。考虑钦定一种顺序处理询问使得移动总次数尽可能小。

一种方法为分块，以 \(l\) 所在块编号为第一关键字，\(r\) 为第二关键字进行排序。设块长为 \(S\)。先考虑右端点移动次数，对于每一个块，其最坏移动 \(n\) 次，所以总移动次数为 \(\dfrac{n^2}{S}\)；左端点在块内每一次移动至多为 \(S\) 次，总次数为 \(Sm\) 次，跨块移动为 \(S\) 次，会跨 \(\dfrac{n}{S}\) 次，总次数为 \(n\) 次，所以左端点移动次数为 \(Sm+n\) 次。

显然如果当 \(l\) 所在块编号为奇数 \(r\) 升序，为偶数 \(r\) 降序会快一点点。

块长为 \(\dfrac{n^2}{S}=Sm\)，解得 \(S = \dfrac{n}{\sqrt{m}}\)，据说开成 \(\dfrac{n}{\sqrt{\frac{2m}{3}}}\) 会快。

练习

考虑差分，将 \(g(l1,r1,x)\) 拆成 \(g(1,r1,x)-g(1,l1-1,x)\)，重新定义 \(f(p,x)=g(1,p,x)\)。则原式为 \(\sum_{x=1}^{\infty}f(r1,x)f(r2,x)-f(l1-1,x)f(r2,x)-f(r1,x)f(l2-1,x)+f(l1-1,x)f(l2-1,x)\)。

拆成四个形如 \(\sum_{x=0}^{\infty}f(l,x)f(r,x)\) 的询问后就可以莫队了。

带修莫队

由于带修，所以询问需要记录时间维度，这样才能保证移动相邻区间复杂度。

仿照普通莫队，将询问按照 \(l\) 所在块编号为第一关键字，\(r\) 所在块编号为第二关键字，\(t\) 为第三关键字。设块长为 \(S\)。先考虑 \(t\) 移动次数，对于每一对 \(l,r\) 所在块，其最多移动 \(m\) 次，总移动次数为 \(\dfrac{n^2}{S^2}m\) 次；考虑 \(r\) 移动次数，若不跨块，则每次询问其最多会在块内移动 \(S\) 次，总次数为 \(Sm\) 次，若跨块则会移动 \(S\) 次，一共会跨 \(\dfrac{n^2}{S^2}S=\dfrac{n^2}{S}\) 次，若 \(l\) 跨块则会移动 \(n\) 次，一共跨 \(\dfrac{n}{S}\) 次，次数为 \(\dfrac{n^2}{S}\) 次，所以总次数为 \(\dfrac{n^2}{S}+Sm\)；考虑 \(l\) 移动次数，若不跨块，同右端点不跨块 \(Sm\) 次，若跨块会跨 \(\dfrac{n}{S}\) 次，总次数为 \(Sm+n\) 次。

则块长为 \(\dfrac{n^2m}{S^2} = Sm\)，解得 \(S= \sqrt[3]{n^2}\)。

回滚莫队

也称不删除莫队。

先介绍这道题的一种不使用回滚莫队的方法。先离散化，维护 \(n\) 个 deque，使用 \(set\) 维护每种数最大间隔，插入删除显然可以做到 \(O(\log n)\)，查询为 \(O(1)\)。考虑平衡一下，使用值域分块可以做到 \(O(1)\) 插入删除，查询 \(O(\sqrt{n})\)。如果预处理每个颜色前驱后继就不需要维护 deque。

接下来为回滚莫队，由于该题插入简单删除困难，所以考虑尽量不删除。首先对于 \(L,R\) 在同一块内的询问，直接暴力计算。对于所有 \(L\) 在同一块内的询问，考虑维护双指针 \(l=r\)，值均为块右端点。由于这些询问的 \(R\) 升序，所以就可以让 \(r\) 向后移动，每次找到一个询问的时候，就将 \(l\) 向左移动到询问的 \(L\) 位置，这部分使用临时数组计算，计算完答案后将 \(l\) 移回块右端点并撤销临时数组。处理完当前块后到下一个块的时候重置 \(l,r\) 指针即可。