斐波那契数列

斐波那契数列满足：

\[F_1=F_2=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n \ge 3) \]

我们想要求证：

\[\gcd(F_n,F_m)=F_{\gcd(n,m)} \]

在此之前，我们先要了解三个定理

定理一：如果 \(n \mid m\)，则有\(F_n \mid F_m (n<m)\)

因为 \(n \mid m\)，所以我们可以假设 \(m = kn(k \ge 1)\)。这里我们使用数学归纳法。

当 \(k=1\) 的时候，显然有 \(F_n \mid F_m\)。

所以我们只要假设 \(k=a\) 的时候，\(k=a+1\) 也成立就行了。

即已知：

\[F_n \mid F_m \]

证明：

\[F_n \mid F_{n(k+1)} \]

即：

\[F_n \mid F_{m+n} \]

我们想到，可以将 \(F_{m+n}\) 变为 \(xF_m + yF_n\)，因为 \(F_n \mid F_m\)，所以原式就等于 \(F_n \mid (xz + y )F_n\)，其中 \(x,y,z\in Z\)

我们可以再次引出一个定理。

定理二：\(F_{n+m}=F_nF_{m+1}+F_{n-1}F_{m}\)

首先，我们可以先证明一下：

\[\begin{aligned} F_n &= F_1F_n+F_0F_{n-1} \\ &=F_1(F_{n-1}+F_{n-2})+F_0F_{n-1} \\ &= F_{n-1}(F_1+F_0)+F_1F_{n-2} \\&=\vdots \\ &=F_kF_{n-k+1}+F_{k-1}F_{n-k}\end{aligned} \]

此时，我们有两种方法：

• 第一种，可以将原式中的 \(n\) 变为 \(n+m\)，将 \(k\) 变为 \(n\)，即原式就为

\[\begin{aligned} F_{n+m} &= F_nF_{(n+m)-n+1}+F_{n-1}F{(n+m)-n} \\&= F_nF_{m+1}+F_{n-1}F_m \end{aligned} \]

• 第二种，可以用数学归纳法：

当 \(m=1\) 的时候，

\[\begin{aligned} F_{n+m} &= F_{n+1} \\&= F_nF_{1+1}+F_{n-1}F_{1} \\&= F_n+F_{n-1} \\&= F_{n+1} \end{aligned} \]

我们假设当 \(m=a\) 的时候，原式成立，即：

\[F_{n+a}=F_nF_{a+1}+F_{n-1}F_{a} \]

将原式两边同时加上 \(F_{n+a-1}\)：

\[F_{n+a}+F_{n+a-1} = F_nF_{a+1}+F_{n-1}F_{a}+F_{n+a-1} \]

运用上方的公式，将 \(n\) 变为 \(n+a-1\)，将 \(k\) 变为 \(n\)，则有：

\[\begin{aligned} F_{n+a}+F_{n+a-1} &= F_nF_{a+1}+F_{n-1}F_{a}+F_nF_a+F_{n-1}F_{a-1} \\&= F_n(F_{a+1}+F_a)+F_{n-1}(F_a+F_{a-1}) \\&= F_nF_{a+2}+F_{n-1}F_{a+1}\end{aligned} \]

即：

\[F_{n+a+1}=F_nF_{a+2}+F_{n-1}F_{a+1} \]

所以，原式成立。

这时用这个公式带入至 \(F_n \mid F_{n+m}\) 中，则有：

\[F_n \mid (F_{m+1}F_n+F_{n-1}F_m) \]

所以，原式成立。

定理三：相邻的斐波那契数列互质

这里运用反证法来证明。

假设 \(\gcd(F_n,F_{n-1})=d(n \ge 3,d>1)\)

则有：

\[d \mid (F_n-F_{n-1}) \]

即：

\[d \mid F_{n-2} \]

又有：

\[d \mid (F_{n-1}-F_{n-2}) \]

即：

\[d \mid F_{n-3} \]

以此类推，最后可得：

\[d = \gcd(F_1,F_2) \]

而又因为 \(F_1=F_2=1\)，所以 \(d=1\)，与 \(d>1\) 矛盾，所以原式成立。