电磁波的反射与透射_反射系数Γ/透射系数τ/四分之一波长匹配层/布儒斯特角

电磁波在分界面上的反射与折射

反射与折射的理论基础

• 二次源与二次波

  在电磁场的边界条件一节中，我们已经推导了理想导体内部不会有电荷，由极化效应产生的极化电荷将只分布在导体的表面（面磁化电流同理）

  因此，当电磁波传播到两种不同介质的分界面上时，分界面上会积累面极化电荷与面磁化电流，这些源是由入射波在边界上激发产生的，因此称为二次源

  二次源作为新的场源，会再辐射出电磁波，称为二次波；反射波与透射波正是二次波的表现形式

• 反射与折射的物理过程

  

  反射与透射的本质是：入射波在分界面上激发二次源，二次源再产生二次波

  在电磁场的边界条件一节中，我们提到了由于在不同媒介的分界面上电磁参数突变，从而使电磁场矢量也发生突变，这种突变由以下边界条件约束：

  • 电场的切向分量连续，法向分量受分界面上的自由面电荷分布影响
  • 磁场的法向分量连续，切向分量受到分界面上自由面电流密度影响

  而因为这种连续与突变的“约束”，导致了入射波有部分能量会被反射回原介质(反射波)，另一部分能量会透射进入第二种介质(透射波)，且传播方向可能发生变化（图示为斜入射，折射导致的方向变化符合斯涅尔定律，在斜入射一节中具体介绍）

• 二次波的表达式

  为了方便，此处以最简单的沿+z方向垂直入射为例介绍表达式、反射与透射系数、反射率与透射率的概念，具体的计算与斜入射的情况在对应章节中介绍

  我们已知入射波表达式\(E_i(z)=E_{im}e^{-j(kz−Φ_i)}\vec e_x\) 与 \(H_i(z)=\frac {E_{im}}{η_1}e^{-j(kz−Φ_i)}\vec e_y\)

  为了描述反射/透射波的振幅，引入反射系数与透射系数：

  • 反射波：\(E_r(z)=ΓE_{im}e^{j(kz−Φ_r)}\vec e_x\)，\(H_r(z)=-\frac {ΓE_{im}}{η_1}e^{j(kz−Φ_r)}\vec e_y\)

    反射波的传播方向由+z变为-z，\(kz\)前负号变正

    由于电磁场有关系\(\vec k_r × E_r\)(满足右手定律)，磁场会反向，需要添上负号

    初相位受到反射系数影响：\(Φ_r=Φ_i+arg(Γ)\)

  • 透射波：\(E_t(z)=τE_{im}e^{-j(k'z−Φ_t)}\vec e_x\)，\(H_t(z)=\frac {τE_{im}}{η_2}e^{-j(k'z−Φ_t)}\vec e_y\)

    透射波依旧同入射波向+z方向前进，但因为介质不同相位常数变为\(k'\)

    初相位受到透射系数影响：\(Φ_t=Φ_i+arg(τ)\)

描述反射与透射的量

• 折射率\(n\)

  折射率\(n=\frac c {v_p}\)：真空中光速与介质中相速的比值，根据\(c=\frac 1 {\sqrt{μ_0ε_0}}\)与\(v=\frac 1 {\sqrt {μ\varepsilon}}\)，可得$n=\sqrt {μ_rε_r} $

  从定义可见：由于电磁波在介质中的传播速度变慢，通常有 \(n≥1\)，而且折射率越大，波传播越慢

  • 折射率与相速有关，由此可知折射率与色散现象有关，对于正常色散，\(n\)随波长增加而减小，在介质中波长 \(λ=\frac {λ_0}{n}\) （其中 \(λ_0\) 是真空波长）

  • 在非磁性介质( \(μ_r≈1\) )中，故\(n≈\sqrt {ε_r}\)，而折射定律可化简为 \(\frac {sinθ_1}{sinθ_2}=\sqrt \frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}=\frac {v_1}{v_2}\)

  • 当介质存在损耗时，介电常数为复数，折射率也变为复数\(\dot n=n-jk\)

    实部\(n\)决定相速与折射行为，虚部\(k\)称为消光系数，决定衰减，前文介绍过电场的衰减因子\(e^{-αz}\)，其中的衰减常数为\(α=\frac{2ωk} c\)

• 本征阻抗\(η\)

  本征阻抗\(η=\frac E H=\sqrt{\frac {\mu}{ε}}\)：在电磁波的基本性质一节中已介绍过

  用于描述介质对电磁波的阻力，是计算反射/透射系数的基础

  • 当介质存在损耗时，介电常数为复数，本征阻抗也变为复数
  • 从定义式可推导其与折射率的关系：介质的本征阻抗\(η=\sqrt{\frac {\mu}{ε}}=\frac {η_0} n\)（其中\(η_0\)是真空特性阻抗\(η_0= \sqrt{\frac {\mu_0}{ε_0}}≈377 Ω\)）

• 反射系数\(Γ\)与透射系数\(τ\)

  反射系数\(Γ\)与透射系数\(τ\)(也可用\(T\)，为了与透射率区分此处用\(τ\))描述了场振幅的比例，在二次波的表达式中引入

  • 反射系数\(Γ=\frac {E_r}{E_i}\)：反射电场振幅与入射电场振幅之比

    \(Γ>0\)：表示反射波电场与入射波同相，如从低阻抗入射到高阻抗介质

    \(Γ<0\)：表示反射波电场与入射波反相，如从高阻抗入射到低阻抗介质

  • 透射系数\(τ=\frac {E_t}{E_i}\)：透射电场振幅与入射电场振幅之比

• 反射率\(R\)与透射率\(T\)

  反射率\(R\)与透射率\(T\)表示电磁波功率的反射/透射比例

  时间平均坡印廷矢量(平均功率流密度)的表达式\(S=\frac 1 2 Re[E×H]\)，以垂直入射一般导电介质为例：对在非磁性介质中沿+z方向传播的平面波可以化简为\(S=\frac 1 2 \frac{|E^2|}{η}\)，由此代入入射波、反射波、透射波的振幅，可以推导出其功率比值

  • 功率反射率：\(R=\frac{S_r}{S_i}=|Γ|^2\)

    功率反射率表示被分界面弹回的入射功率比例，值为反射系数模的平方，因为反射发生在同一介质内故与阻抗无关

  • 功率透射率：\(T=\frac{S_t}{S_i}=\frac {η_1} {η_2}|τ|^2\)

    功率透射率表示成功穿过分界面的入射功率比例，不仅取决于透射电场振幅，因为经过了两种介质还与两侧阻抗比有关

  由能量守恒定律，可知对于无耗介质：\(T+R=1\)

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均匀平面波对分界面的垂直入射

• 当均匀平面波垂直入射到(无限大)平面分界面时，反射与透射行为可由波阻抗完全确定

理想介质分界面的垂直入射

• 导电媒质与理想介质分界面的条件

  已知一般导电媒质的边界条件为：电场切向连续，磁场切向连续

  注意导电媒质与理想导体不同，因为一般的导电媒质电导率有限，也就无法如理想导体的理论一样存在宏观的面电流，那么磁场切向依旧是连续的

  可见导电媒质与理想介质的边界条件应该是等效的，推导过程与结果应该相同，在此合并推导

  将条件写出表达式为：

  • \(E_i(0)+E_r(0)=E_t(0)\)
  • \(H_i(0)+H_r(0)=H_t(0)\)

  然后代入前文所述的垂直入射的电磁波表达式，就得到了进行垂直入射导电媒质分界面相关量推导的条件：

  • \(E_{im}+ΓE_{im}=TE_{im}\)，化简可得：\(1+Γ=τ\)
  • \(\frac {E_{im}}{η_{1}}-\frac {ΓE_{im}}{η_{1}}=\frac {τE_{im}}{η_{2}}\)，化简可得：\(\frac {1}{η_{1}} -\frac {Γ}{η_{1}}=\frac {τ}{η_{2}}\)

• 垂直入射导电媒质分界面的性质

  将上述条件联立可得：

  • 垂直入射导电媒质分界面的反射系数\(Γ=\frac {η_{2}-η_{1}}{η_{2}+η_{1}}\)
  • 垂直入射导电媒质分界面的透射系数\(τ=\frac {2η_{2}}{η_{2}+η_{1}}\)

  因为导电媒质的波阻抗为复数，故反射系数也为复数，由此可知：

  • 反射波与入射波存在相位差
  • 透射波在第二介质中衰减传播（衰减常数 \(α>0\)）

• 垂直入射理想介质分界面的能量守恒

  一般导电媒质与理想介质的条件相同，反射与透射系数计算结果同上

  理想介质与一般导电介质区别在于：理想介质没有损耗，波阻抗为实数，由此可知折射与反射过程遵循能量守恒定律：

  • 入射能流\(S_i=\frac {|E_{im}|^2}{2η_{1}}\)

    反射能流\(S_i=\frac {|ΓE_{im}|^2}{2η_{1}}=∣Γ∣^2S_i\)

    透射能流\(S_t=\frac {|τE_{im}|^2}{2η_{2}}=∣τ∣^2\frac {η_{1}}{η_{2}}S_i\)

  • 由上式与能量守恒可得理想介质有关系：\(∣Γ∣^2+∣τ∣^2\frac {η_{1}}{η_{2}}=1\)

理想导体分界面的垂直入射

• 理想导体分界面的条件

  已知理想导体内部电场为0，故在表面的切向电场，也即透射波\(E_t\)也为0，因此理想导体的推导条件为：

  • \(E_i(0)+E_r(0)=0\)

  然后代入前文所述的垂直入射的电磁波表达式，就得到了进行垂直入射理想导体分界面相关量推导的条件：

  • \(E_{im}+ΓE_{im}=0\)，化简可得：\(1+Γ=0\)

• 垂直入射理想导体分界面的性质

  将上一条件可得：

  • 垂直入射理想导体分界面的反射系数：\(Γ=-1\)
  • 垂直入射理想导体分界面的透射系数：\(τ=0\)

  另一种证明方法是由理想导体的波阻抗为0，所以\(Γ=\frac {η_{2}-η_{1}}{η_{2}+η_{1}}=\frac {0-η_{1}}{0+η_{1}}=-1\)

  由此可知：

  • 反射波电场与入射波反相
  • 无能量透入导体，全反射
  • 总电场在边界处为零（满足理想导体边界条件 \(E_t=0\)）

均匀平面波对多层介质分界平面的垂直入射

• 输入阻抗递推法原理

  对于多层介质，在每一层都会发生部分反射与透射，而且层内还会发生多次反射干涉，可采用递推阻抗法计算总反射系数

  1. 从最后一层开始，当波从第N-1层进入第N层时，只会在最后一个界面发生一次反射，没有后续的内部多次反射，因此反射系数容易算

  2. 现在把第N-1层与第N层看作一个整体。波从第N-2层进入这个“整体”时，它遇到的不是一个单一的波阻抗\(η_{N-1}\)，而是一个等效波阻抗\(Z_{N-1}\)

     这个等效波阻抗不仅与第N-1层本身的\(η_{N-1}\)有关，还与第N层的波阻抗以及第N-1层的厚度（d）有关

  3. 以此类推，一直算到\(Z_2\)，也就是第二层向右看去，最终总反射系数即为\(Γ=\frac {Z_{2}-η_{1}}{Z_{2}+η_{1}}\)

• 输入阻抗递推公式

  利用前文推断所得公式\(η=\sqrt{\frac {\mu}{ε}}\) 与 \(Γ=\frac {η_{2}-η_{1}}{η_{2}+η_{1}}\)进行计算，可得输入阻抗递推公式：

  \[Z_m=η_m\frac {Z_{m+1}+jη_mtan(β_md_m)}{η_m+jZ_{m+1}tan(β_md_m)} \]

  其中\(β_m=\frac {2π}{λ_m}\)是相位常数（有耗介质则改为\(γ\)），\(λ_m\)是波在该层中的波长

  以三层介质的情况为例，如 \(η_1→η_2→η_3\)，设被夹在中间的介质2厚度为\(d\)，以介质1与2的分界面为坐标z=0，介质2与3的分界面为坐标z=d

  1. 从介质2与3的分界面入的阻抗\(Z_{in}(d)=η_3\)
  2. 介质 2 的输入阻抗 \(Z_{in}\)（从介质 1 和介质 2 的分界面往右看）\(Z_{in}(0)=η_2\frac {Z_{3}+jη_2tan(β_2d)}{η_2+jZ_{3}tan(β_2d)}\)
  3. 最终得总反射系数\(Γ=\frac {Z_{in}(0)-η_{1}}{Z_{in}(0)+η_{1}}\)

• 四分之一波长匹配层

  这是一种在两不同介质间插入单层介质，以实现无反射传输的技术

  这一介质称为匹配层，其原理是让第一个界面和第二个界面反射回来的波，在第一个界面处相位相差180°（即相差半个波长），从而相互抵消

  为了实现这一点，令匹配层厚度为\(d=\frac {λ_2}{4}\)，这样就有\(β_2d=\frac π 2\)，从而让相位相差180°，输入阻抗利用公式为\(Z_2=\frac {η_2^2}{Z_3}\)（因为\(tan(β_2d)=tan\frac π 2=∞\)，提供求极限可得）

  代入\(Z_3=η_3\)，并希望\(Z_2=η_1\)以实现无反射（\(Γ=\frac{Z_{in}-η_1}{Z_{in}−η_1}=0\)），则有\(η_1=\frac {η_2^2}{η_3}\)，整理如下：

  • 厚度条件：\(d=\frac {λ_2}{4}\)（四分之一波长厚度）
  • 阻抗条件：\(η_2=\sqrt{η_1η_3}\)

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均匀平面波对分界面的斜入射

斜入射的理论基础

• 斯涅尔定律

  即相位匹配条件，其要求在分界面上波的相位必须连续，从而对斜入射后二次波的角度变化关系进行了限定：

  \[k_1sinθ_i=k_1sinθ_r=k_2sinθ_t \]

  由此可得：

  • 斯涅尔反射定律：从\(k_1sinθ_i=k_1sinθ_r\) 得 \(θ_i=θ_r\)

    入射波与反射波在同一平面内，入射角等于反射角

  • 斯涅尔折射定律：从\(k_1sinθ_ir=k_2sinθ_t\) 得 \(\frac {sinθ_1}{sinθ_2}=\frac {n_1} {n_2}\)

    入射波与折射波在同一平面内，且入射角\(θ_1\)与折射角\(θ_2\)成比例，比例等于介质的折射率之比

• 极化分解

  斜入射时，反射与透射行为与极化方式有关，不同情况的反射/折射系数也不同，而任意极化波可分解为两个正交线性极化波的叠加，我们研究这两种分解情况即可：

  • 垂直极化（TE波）：电场矢量E垂直于入射平面，以角标\(⊥\)标记
  • 平行极化（TM波）：电场矢量E平行于入射平面，以角标\(∥\)标记

理想介质表面的斜入射

• 垂直极化波斜入射理想介质

  设电场沿着\(\vec e_y\)方向入射\(E_i=E_{im}e^{−j(k_1xsinθ_i+k_1zcosθ_i−Φ_i)}\vec e_y\) ，那么磁场就会有沿着\(\vec e_x\)与\(\vec e_z\)的分量 \(H_i=\frac{E_{im}}{η_1}(−cosθ_i\vec e_x+sinθ_i\vec e_z)e^{−j(k_1xsinθ_i+k_1zcosθ_i−Φ_i)}\)

  根据理想介质分界面电场与磁场连续的条件以及斯涅尔定律可得：

  • \(E_{im}+Γ_⊥E_{im}=τ_⊥E_{im}\)，化简可得：\(1+Γ_⊥=τ_⊥\)
  • \(\frac {cosθ_i}{η_{1}}E_{im}-\frac {cosθ_i}{η_{1}}Γ_⊥E_{im}=\frac {cosθ_t}{η_{2}}τ_⊥E_{im}\)，化简可得：\(\frac {cosθ_i}{η_{1}}(1-Γ_⊥)=\frac {cosθ_t}{η_{2}}τ_⊥\)

  联立解得：

  • TE波斜入射理想介质分界面的反射系数：\(Γ_⊥=\frac{η_2cosθ_i-η_1cosθ_t}{η_2cosθ_i+η_1cosθ_t}\)（与分界面法向成\(θ_i\)）
  • TE波斜入射理想介质分界面的透射系数：\(τ_⊥=\frac{2η_2cosθ_i}{η_2cosθ_i+η_1cosθ_t}\)（透射角\(θ_t\)由\(θ_i\)与斯涅尔折射定律确定）

• 平行极化波斜入射理想介质

  设磁场沿着\(\vec e_y\)方向入射\(H_i=H_{im}e^{−j(k_1xsinθ_i+k_1zcosθ_i−Φ_i)}\vec e_y\)，那么电场就会有沿着\(\vec e_x\)与\(\vec e_z\)的分量\(E_i={η_1}{E_{im}}(cosθ_i\vec e_x-sinθ_i\vec e_z)e^{−j(k_1xsinθ_i+k_1zcosθ_i−Φ_i)}\)，根据理想介质分界面电场与磁场连续的条件以及斯涅尔定律可得：

  • \(H_{im}+Γ_∥H_{im}=τ_∥H_{im}\)，化简可得：\(1+Γ_∥=τ_∥\)
  • \({η_{1}}{cosθ_i}E_{im}-{η_{1}}{cosθ_i}Γ_⊥E_{im}={η_{2}}{cosθ_t}τ_⊥E_{im}\)，化简可得：\({η_{1}}{cosθ_i}(1-Γ_∥)={η_{2}}{cosθ_t}τ_∥\)

  联立解得：

  • TM波斜入射理想介质分界面的反射系数：\(Γ_∥=\frac{η_2cosθ_t-η_1cosθ_i}{η_2cosθ_t+η_1cosθ_i}\)
  • TM波斜入射理想介质分界面的透射系数：\(τ_∥=\frac{2η_2cosθ_i}{η_2cosθ_t+η_1cosθ_i}\)

• 布儒斯特角

  使平行极化波(TM波)反射系数为0，即\(Γ_∥=0\)的特定入射角

  1. 从TM波斜入射理想介质分界面的反射系数公式可见，要使得\(Γ_∥=\frac{η_2cosθ_t-η_1cosθ_i}{η_2cosθ_t+η_1cosθ_i}=0\)，就需要让\(η_2cosθ_t-η_1cosθ_i=0\)
  2. 结合斯涅尔定律\(sin⁡θ_t=\frac {n_2}{n_1}sin⁡θ_i\)，可得：\(tanθ_B=\frac {n_2}{n_1}\)

  由此布儒斯特角为：

  \[θ_B=arctan(\frac {n_2}{n_1}) \]

  以此角度入射时，TM波全透射，TE波仍有反射

• 全反射临界角

  使折射角达到90°的入射角，当入射角大于此角时，发生全反射

  1. 因为折射角达到90°，也即$ sin⁡θ_t=1$
  2. 结合斯涅尔定律\(\frac {sinθ_1}{sinθ_2}=\frac {n_1} {n_2}\)，可得：\({sinθ_c}=\frac {n_2} {n_1}\)

  由此全反射临界角为：

  \[θ_c=arcsin(\frac {n_2}{n_1}) \]

  当\(θ_i>θ_c\)时，发生全反射，透射波为沿界面传播的表面波

理想导体表面的斜入射

• 垂直极化波斜入射理想导体

  根据理想导体切向电场为0的边界条件，同样设电场沿着\(\vec e_y\)方向入射，可得：\(E_{im}e^{−j(k_1xsinθ_i−Φ_i})\vec e_y+Γ_⊥E_{im}e^{−j(k_1xsinθ_i+Φ_r)}\vec e_y=0\)

  • TE波斜入射理想导体分界面的反射系数：\(Γ_⊥=-1\)
  • TE波斜入射理想导体分界面的透射系数：\(τ_⊥=0\)

• 平行极化波斜入射理想导体

  根据理想导体垂向磁场为0的边界条件，可得：\(η_1H_{im}cosθ_ie^{−j(k_1xsinθ_i−Φ_i})-η_1Γ_∥H_{im}cosθ_ie^{−j(k_1xsinθ_i+Φ_r)}=0\)

  • TM波斜入射理想导体分界面的反射系数：\(Γ_∥=1\)（总电场反相，但切向分量电场同相反射）
  • TM波斜入射理想导体分界面的透射系数：\(τ_∥=0\)