电磁场的基本规律_源与场/麦克斯韦方程组/边界条件推导

电磁学的概念

电磁场概述

• 电磁场缩写为EMF，是矢量场的一种，描述空间每一点的电场强度与磁场强度，其由以下核心量描述：分别为描述场的量E/D/B/H、描述源的量ρ/J、描述真空性质的量ε₀/μ₀
• 这些量之间的关系通过实验被总结为以下三大定律：库伦定律、安培力定律、法拉第电磁感应定律，而这三大定律又被麦克斯韦统一用麦克斯韦方程组描述

描述场的量

• 电场强度E

  电场对电荷有力的作用，即电场力\(F={E}\cdot{q}\)，这个力的大小由电荷带电量\(q\)和电场的电场强度\(E\)决定

  • 定义式：\(E=\frac {F}{q}\)，表示电场强度等于一个测试电荷(单位正电荷)在电场中某一点受到的力的大小，规定正电荷受力方向为电场强度的方向

    定义式反映电场本身的性质，电场大小与测试电荷的大小无关（这个测试电荷为理想电荷，足够小，自身电场不影响原电场分布）

  • 决定式(点电荷场强公式)：\(E=\frac{1}{4πε}⋅\frac{Q}{r^2}\)，描述场源电荷Q在距离其r处产生的电场强度大小，可用于点电荷（对含多个点电荷的系统对各个点电荷分别计算场强后进行矢量叠加）

  电场强度反映了总电场，包括自由电荷(能控制其位置移动的电荷)产生的电场与介质内部被极化后产生束缚电荷所产生的附加场

• 电位移D

  电位移D也称电通量密度，只与自由电荷有关，是电场强度E忽略了介质极化影响后的部分

  • 用介电常数ε衡量不同介质极化影响的程度，\(D=εE=ε_0ε_rE\)，\(ε_r\)是相对介电常数，不同介质有所不同

• 磁感应强度B

  磁场对运动电荷(电流)有力的作用，即洛伦兹力\(F=(B×v)\cdot q\)，这个力的大小由电荷带电量\(q\)、电荷相对于磁场的运动速度\(v\)和磁场的磁感应强度\(B\)决定

  之所以叫洛伦兹力，是由于其源自洛伦兹变换(即观测者在不同惯性参考系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系)

  电场和磁场不是分别的，而是统一的电磁场张量在不同参考系中的不同分量：在一个与电荷相对静止的参考系中，只会测到静电场；但当变换到一个相对此电荷运动的参考系时（从原视角看即电荷开始运动）通过洛伦兹变换，电磁场的分量发生混合，使得新观测者会同时测到电场和磁场。因此，运动电荷所受到的磁力（洛伦兹力的磁场部分），本质上正是静电场经相对论变换后的体现

  • 定义式：\(B=\frac{F_{max}}{q \cdot v}\)，单位为T特斯拉，表示电场强度等于一个测试电荷(单位正电荷)在电场中某一点受到的力的大小，规定正电荷受力方向为电场强度的方向，磁感应强度的方向由右手定则决定：伸出右手比个赞，大拇指指向电流方向(正电荷运动方向)，四指所蜷成的圈方向就是磁场方向

    从洛伦兹力的矢量式中可得\(F=Bqvsin⁡θ\)，故\(θ=90°\)即电荷运动方向与磁场方向垂直时运动电荷受磁场力最大，因此定义式中的\(F_{max}\)只是为了无歧义地对应运动电荷与磁场的相对速度\(v\)，从而简洁地定义磁感应强度\(B\)的大小，实际上定义式反映磁场本身的性质，磁场的大小与测试电荷的大小与速度无关

  • 决定式(毕奥-萨伐尔定律)：\(dB=\frac {μ_0}{4π}⋅\frac{Id\vec l×\vec r}{r^3}\)，描述电流元\(Idl\)（一小段载流导线）在空间某点（从电流源到所求场点的向量记为\(r\)，单位向量记为\(e_r\)）产生的磁感应强度，\(dB\)、\(dl\)、\(r\)的方向符合右手定则，可用于任意形状的载流导线\(L\)，进行积分\(B=∫_L\frac{μ_0}{4π}⋅\frac{Id\vec l×\vec e_r}{r^2}\)，而对于有一定厚度的导体，将定律中的线电流元改为体电流元，变为\(B=\frac{μ_0}{4π}∭_V\frac{\vec JdV×\vec e_r}{r^2}\)

    另外有安培环路定理可更方便地确定磁感应强度：\(\oint_{L}\vec B \cdot d \vec l=\mu_0\sum I\)，即在真空的恒定磁场中，磁感应强度 B 沿任意闭合回路 L 的线积分，等于穿过该回路所围面积的电流代数和(穿入与穿出对应正负)的 \(μ_0\) 倍

  磁感应强度反映了总磁场，包括传导电流产生的磁场与介质被磁化后产生的磁化电流产生的附加场

• 磁场强度H

  磁场强度只与自由电流(如导线中的电流)有关，是磁感应强度B忽略了介质磁化影响后的部分

  • 用磁导率衡量不同介质磁化影响的程度，\(B=μH=μ_0μ_rH\)（适用于线性、各向同性的介质中）\(μ_r\)是相对磁导率，不同性质的介质有所不同

  • 真空或非磁性材料\(μ_r\)≈1，顺磁质\(μ_r\)>1(特例是铁磁质，即带有磁性的金属材质，可达几百甚至上万)，抗磁质\(μ_r\)<1

描述源的量

• 电荷密度ρ

  电荷密度是单位体积内包含的净电荷量(正电荷量-负电荷量)，单位为库伦C/m³，其为产生电场的源头，电荷会向外发散电场

• 电流密度J

  电流密度是垂直于电流方向的单位截面上通过的电流，单位为安培A/m²，其为产生磁场的源头，电流(运动的电荷)会激发环绕它的磁场

• 源与场

  之所以要分出总的电场E/磁场B和自由电荷/电流产生的D/H，是为了区分起因与总效果

  • 自由电荷产生了D，D驱动电场导致介质极化，最终结果为E；

  • 自由电流产生了H，H驱动磁场导致介质磁化，最终结果为B

描述真空环境的量

• 真空介电常数ε₀

  \(ε_0\)真空介电常数衡量真空(没有介质影响)环境对电场的“抗拒能力”（或者称真空的电容性）

  在真空(没有介质影响)环境中，\(D=εE=ε_0E\)，\(ε_0\)≈ 8.85×10⁻¹² F/m

• 真空磁导率μ₀

  μ₀真空磁导率衡量真空对磁场的“导通能力”（或者称真空的电感性）

  在真空(没有介质影响)环境中，\(B=μH=μ_0H\)，\(μ_0\)≈8.854 × 10⁻¹² F/m，

• 光速

  真空中电磁波的速度(即光速)由两者共同决定，\(c=\frac{1}{\sqrt{μ_0ε_0}}\)

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麦克斯韦方程组

• 麦克斯韦方程组概述

  麦克斯韦方程组由四个方程组成，描述了电场E与磁场B之间的相互关系

  • 高斯定律（电场）\(\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)：电荷是电场的散度源，若无电荷，则电场的散度为零
  • 高斯定律（磁场）\(∇·B = 0\)：磁场是无散场，磁感线永远是闭合的
  • 法拉第电磁感应定律\(∇×E = -\frac{∂B}{∂t}\)：变化的磁场产生感应电场
  • 安培-麦克斯韦定律\(\nabla \times B = \mu_0 J + \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial E}{\partial t}\)：变化的电场产生涡旋磁场，电流和变化的电场是磁场的旋度源

• 高斯电场定律

  表示电荷是电场的源，电荷发出电场线

  \[\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{σ} = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho \, dV \]

  积分形式：穿过一个闭合曲面S的总电通量=闭合曲面所包围区域V内净电荷总量(正电荷量-负电荷量)/介电常数

  \[\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]

  微分形式：某一点电场发散程度=该点电荷密度/介电常数

  • \(\nabla \cdot \mathbf{E}=0\)：该点无电荷
  • \(\nabla \cdot \mathbf{E}>0\)：该点有正电荷，是电场线的源头
  • \(\nabla \cdot \mathbf{E}<0\)：该点有负电荷，是电场线的汇点

• 高斯磁场定律

  表示磁场是无源的，磁感线闭合

  \[\oint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{σ} = 0 \]

  积分形式：穿过任意闭合曲面S的总磁通量=0，说明磁感线都是闭合曲线，对于闭合曲面来说，进多少磁感线就出多少磁感线

  \[\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \]

  微分形式：某一点磁场发散程度=0，说明磁场不像电场有电荷那样的源头，磁场在任何地方都不“产生”或消失，总是连续、闭合地流动

• 法拉第定律

  表示变化的磁场会产生漩涡电场

  \[\oint_{C} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{σ} \]

  积分形式：感应电动势(即沿闭合回路C的电场环流)=穿过该回路所围曲面的磁通量变化率

  \[\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

  微分形式：电场在某一点的旋度=该点磁场的变化率
  静止电荷产生的电场是无旋场(放射状，没有形成“漩涡”)，而变化的磁场形成的电场有旋，类似与拔开塞子的水池，中心磁场变化，周围的电场会围着它转
  磁场变化率的负号代表楞次定律（感应电场的效果总是阻碍磁场变化）

• 安培-麦克斯韦定律

  表示漩涡磁场由传导电流(导线中的电流)与位移电流(变化的电场)两部分产生

  \[\oint_{C} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{σ} + \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{σ} \]

  积分形式：沿闭合回路的磁场环流=穿过该闭合回路的传导电流+该闭合回路所围曲面的电通量的变化率
  本质是安培环路定律（磁场强度沿着闭合路径L的环流=穿过以路径C为边界的曲面S的电流）补充上麦克斯韦发现的位移电流：我们一般所说的电流由载流子(即自由电荷)的实际移动形成，称为传导电流；而麦克斯韦把变化的电场所引起的电荷移动也视作一种电流，解决了电容器充放电过程中电流中断导致的矛盾，使得经典的安培定律能够适用于时变电场

  \[\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]

  微分形式：磁场强度在某一点的旋度=电流密度+电场强度变化率×介电常数
  说明电流和变化的电场会绕着磁场“打转”，导线周围电流产生环绕的磁场，而电磁波中没有电流，但振荡的电场依然产生环绕的磁场

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电磁场的边界条件

边界条件的意义

• 不同介质的突变问题

  对实际的电磁场问题，通常要涉及不同的电磁参数的媒介构成的相邻区域，由于在不同媒介的分界面上电磁参数突变，此时电磁场矢量也会突变，导致麦克斯韦方程组微分形式在分界面上失去意义

  因此，为了求解电磁场问题，必须知道两种不同媒介分界面上两侧的电磁场量之间的关系，这一关系被称为电磁场的边界条件

  由于积分形式的麦克斯韦方程组不受场量连续与否的影响，由此推导出电磁场量在两种不同媒介分界面上满足的边界条件

• 边界条件的应用

  例如说，理想介质的电场传播有边界条件：\(E_{1t}=E_{2t}\)且\(D_{1n}=D_{2n}\)

  既然\({\varepsilon_1}E_{1n}={\varepsilon_2}E_{2n}\)，由于不同介质ε和μ不同，也就得\(E_{1n} \neq E_{2n}\)，这意味着电场E在边界面传播将会如下图发生一定折射：

  

  可见确定了边界条件，才能确定介质分界面场是如何传播的

电场的边界条件推导

• 电场的切向分量

  根据法拉第电磁感应定律\(\oint_{C} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{σ}\)：

  1. 在分界面作如下的环路C

     

  2. 令Δh趋向0，方程右侧的\(\int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{σ}\)就趋向0，同时垂直于分界面部分的积分也趋向0，剩下\(\oint_{C} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} =\int_{l_1} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l_1}+\int_{l_2} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l_2}= 0\)

  3. 再让Δl也趋向0，我们就得到了\((E_{1t}-E_{2t})\vec{l_1}Δl=0\)(因为l₁与l₂方向相反故取负号)

  4. 由此，我们得到\(E_{1t}=E_{2t}\)或\(\frac {D_{1t}}{ε_1}=\frac {D_{2t}}{ε_2}\)

  所以切向电场无论如何都是连续的

• 电场的法向分量

  根据高斯电场定理\(\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{σ} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho \, dV\)（\(\oint_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{σ} = \int_V \rho \, dV\)）：

  1. 在分界面作如下的高斯面S，其包围的体积为V

     

  2. 令Δh趋向0，高斯面侧面部分的积分就趋向0，剩下\(\oint_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{σ} = \int_{底面}D_1\cdot n_1 ds +\int_{顶面}D_2\cdot n_2 ds = \rho_s ΔS\)

  3. 再让Δs也趋向0，我们就得到了\((D_{1n} - D_{2n} )\vec{n_1}ΔS = \rho_s ΔS\)(因为顶面与底面法向相反故取负号)

  4. 由此，我们得到了\(D_{1n} - D_{2n} = \rho_s\)或\({\varepsilon_1}E_{1n} - {\varepsilon_2}E_{2n} = \rho_s\)

  所以，对于不同的介质，边界面S上电荷分布情况不同，电场的法向分量连续性有不同的结论：

  • 理想导体：电荷分布在导体边缘(ρ_s不为0)，法向电场不连续，\(D_{1n} - D_{2n} = \rho_s\)

    当介质1为介质，介质2为理想导体：因为理想导体内电场为0，即\(E_{2n} = 0\)，所以\(E_{1n} = \frac{\rho_s}{\varepsilon_1}\)

  • 理想介质：边界上没有电荷分布，法向电场连续，$D_{1n} = D_{2n} $

磁场的边界条件推导

• 磁场的法向分量

  根据高斯磁场定理\(\oint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{σ} = 0\)：

  1. 作与电场法向分量的推导类似的圆柱形高斯面
  2. 令Δh趋向0，高斯面侧面部分的积分就趋向0，剩下\(\oint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{σ} = \int_{底面}B_1\cdot \vec{n_1} ds +\int_{顶面}B_2\cdot \vec{n_2} ds = 0\)
  3. 再让Δs也趋向0，我们就得到了\((B_{1n} - B_{2n}) \vec{n_1}ΔS =0\)
  4. 由此，我们得到了 $B_{1n} = B_{2n} $ 或 \(μ_1H_{1n}=μ_2H_{2n}\)

  所以法向磁场无论如何都是连续的

• 磁场的切向分量

  根据安培环路定理\(\oint_{C} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{σ}=I\)

  1. 作与电场切向分量的推导类似的矩形环路（设电流方向与此环路成右手定则）
  2. 令Δh趋向0，垂直于分界面部分的路径积分也趋向0，剩下\(\oint_{C} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} =\int_{l_1} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l_1}+\int_{l_2} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l_2}= I\)
  3. 再让Δl也趋向0，我们就得到了\((H_{1t}-H_{2t})\vec{l_1}Δl=J_s\vec{n}Δl\)（\(J_s\)为环路所包围面电流密度，电流方向记为\(\vec{n}\)）
  4. 通过矢量恒等变换\(\vec{l_1}=\vec{n}×\vec{n_n}\)得\(\vec{n}\cdot[\vec{n_n}×(H_{1t}-H_{2t})]=J_s\vec{n}\)
  5. 由此，我们得到 \((H_{1t}-H_{2t})×e_n=J_s\)

  所以，对于不同的介质，边界面S上电流密度不同，磁场的切向分量连续性有不同的结论：

  • 理想导体：电荷分布在导体边缘(ρ_s不为0)，切向磁场不连续，\((H_{1t}-H_{2t})×e_n=J_s\)

    而且由此式可知分界面上的传导电流在分界面两侧产生的磁场强度切向分量方向相反

  • 理想介质：边界上没有面电荷分布，法向磁场连续，\(H_{1t}=H_{2t}\)

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不同介质的边界条件

• 一般介质边界条件

  • \(E_{1t}=E_{2t}\)（\(\frac {D_{1t}}{\varepsilon_1}=\frac {D_{2t}}{\varepsilon_2}\)）
  • \(D_{1n} - D_{2n} = \rho_s\)（\({\varepsilon_1}{E_{1n}}-{\varepsilon_2}{E_{2n}}=\rho_s\)）

  注：由\(J=σE\)(欧姆定律的微分形式，电流密度=电导率×电场强度)可推导介质中切向与垂向电流密度\(\frac{J_{1t}}{σ_1}=\frac{J_{2t}}{σ_2}\)与\({\varepsilon_1}\frac{J_{1t}}{σ_1}-{\varepsilon_2}\frac{J_{2t}}{σ_2}=\rho_s\)

  • \(B_{1n}=B_{2n}\)
  • \(H_{1t}-H_{2t}=J_s\)（\(\frac{B_{1t}}{μ_1}-\frac{B_{2t}}{μ_2}=J_s\)）

• 理想介质边界条件

  对于实际应用中电导率较低的材料，为了简化计算，将其视为理想介质(电导率为0)

  由于理想介质中没有自由电子，所以分界面上不存在自由面电荷和面电流，没有独立的面源，也就意味着没有任何场分量会发生突变，所有场的切向分量和法向分量都是连续的，即大小相等，方向相同（但是它们的导数可能不连续）

  • \(E_{1t}=E_{2t}\)（\(\frac {D_{1t}}{\varepsilon_1}=\frac {D_{2t}}{\varepsilon_2}\)）
  • \(D_{1n}=D_{2n}\)（\({\varepsilon_1}{E_{1n}}={\varepsilon_2}{E_{2n}}\)）
  • \(B_{1n}=B_{2n}\)
  • \(H_{1t}=H_{2t}\)（\(H_t=\frac{B_t}{μ}\)）

  虽然场分量在理想介质分界面都连续，但由于\(ε₁≠ε₂\)，\(μ₁≠μ₂\)，场强仍会发生折射

• 理想导体边界条件

  对于实际应用中电导率σ很高的金属材料，为了简化计算，将其视为理想导体(电导率为无穷)，理想导体内部不存在随时间变化的电场与磁场，自由电荷只分布在表面，称为面极化电荷，数学上有两种证明方法：

  1. 由\(J=σE\)可知，理想导体内部\(E=0\)无电场(否则会出现无限大的电流密度)，再由麦克斯韦的\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0\)可知理想导体内部无磁场
  2. 高斯定理：\(\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{σ} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)，因为\(E=0\)，能取高斯面S包围的Q必然为0，所以导体内部无自由电荷分布，而理想导体所有的静电荷只会分布无法取高斯面的地方，即导体的表面

  由以上特性，可知从一种介质(记为1)到导体(记为2)的分界面边界条件如下：

  • \(E_{1t}=E_{2t}=0\)（\({D_{1t}}= {D_{2t}}=0\)）

    理想导体内电场为0，而由边界条件两侧切向电场相等，故电场皆为0

  • \(D_{1n} = {\rho_s}\)，\(D_{2n} = 0\) （ \(E_{1n} = \frac{\rho_s}{\varepsilon_1}\)，\(E_{2n} = 0\) ）

    理想导体内电场为0，故理想导体一侧的垂向电场也为0

    电荷重新分布直到完全抵消了电场力，故导体内部产生与外电场方向相反的极化电场使\(E_合=0\)；而表面的电荷并没有相应的电荷来抵消其作用，因此有面极化电荷产生极化场作用

    电荷重新分布直到完全抵消了电场力，故导体内部产生与外电场方向相反的极化电场使\(E_合=0\)

    如上推导结合边界条件\(D_{1n} - D_{2n} = \rho_s\)，可知导体表面电荷密度(面极化电荷密度)为\({\rho_s}={\varepsilon_1}E_1\)，产生电场方向垂直于导体表面

  • \(B_{1n}=B_{2n}=0\)（\({H_{1n}}= {H_{2n}}=0\)）

  • \(H_{1t}×e_n=J_s\)，\(H_{2t}=0\)（\(H_t=\frac{B_t}{μ}\)）

    磁场完全平行于表面，且分界面上的传导电流在分界面两侧产生的磁场强度切向分量方向相反