场论_梯度/旋度/散度/拉普拉斯算子/矢量场定理等概念的简明解释

• 最近在复习电磁场与电磁波，作为数学不好的人，把一些场论容易混淆的地方和电磁场与电磁波中难以理解的部分整理了出来，写作此文，像偏微分、多重积分如何计算等基础知识不再赘述

场的概述

• 场是存在于空间中每一点的物理量，这个物理量的值随空间位置和时间变化，它的值可以是标量(只有数值大小区别)、矢量(不仅有数值而且有方向)或张量

  • 标量场：如温度场，空间里每个点的位置(x,y,z)对应了用函数φ表示的不同温度值φ(x,y,z)
  • 矢量场：如电场，不同位置的量不仅强度大小有区别，还有不同的方向
  • 张量场：如应力场

• 在数学上，可以用函数(如温度场用φ(x,y,z)表示点(x,y,z)的温度)和微分方程(如麦克斯韦方程组)来描述一个场的基本性质与状态

场的数学操作

梯度∇f

• 方向导数

  描述一个标量场，常用等值面，即所经点的标量函数都为相同值的空间曲面

  看出场量的分布情况后，再引入方向导数：反映标量场在某一点沿特定方向的变化快慢

  在P₀点沿着l的方向导数计算方式是\(\frac{\partial f}{{\partial l}} = \lim_{\Delta l \to 0} \frac{f(P) - f(P_0)}{\Delta l}\)

• 梯度的定义

  梯度是指在某个点上标量场函数f的值增加最快的方向(总是垂直于等值面)

• 梯度的计算

  \(\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}\)

  计算结果为一个向量，其方向就是f增加最快的方向（减小最快的方向为负梯度），其数值也就是这一点上方向导数的最大值

• 物理含义

  以电场为例，各个位置的电势大小用ρ(x,y,z)表示，这个标量场的梯度就是电势增加最快的方向，而电场强度就是某点处电势降低最快的方向，即电场强度就是空间内电势分布的负梯度

散度∇·f

• 通量

  描述一个矢量场，常用矢量线，即切线方向与所经点的矢量场方向一致的曲线

  看出场中矢量的走势后，如果矢量线类似放射状，想衡量有多少矢量线从曲面穿出，就需引入通量：通量反映矢量线穿出或穿入某一曲面的数量多少

  在F场下对曲面S的通量计算公式：\(Φ=∬_SF⋅ndS\)，即矢量场F在曲面S法向分量的面积分，考虑穿出为正、穿入为负

• 散度的定义

  散度的本质是通量的密度，反映某点处矢量场的“源强度”

  从通量计算公式可见，通量的大小与所选曲面S的大小有很大关系，为了衡量场在不同位置的矢量线的“密集程度”，把这个曲面所包围的体积收缩到一点，就得到了某点处的散度

• 散度相关概念

  • 矢量线从某点发散，散度衡量该点矢量线的“密集程度”
  • 发出这种矢量线的源称为通量源
  • 有散度的场的矢量线形成放射线形状，这时这些矢量线是有起点与汇点
  • 散度为0的场称为无散场

• 散度的计算

  \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)

  计算结果为一个标量，其数值大小就是该点处通量的体密度

  • 散度 > 0：该点有正源，即发散矢量线的源（如正电荷）
  • 散度 = 0：该点无源（如磁场）
  • 散度 < 0：该点有负源，即聚合矢量线的源（如负电荷）

• 物理含义

  以电场为例，电场线起于正电荷，终于负电荷(或无穷远)，电荷就是发出电场的通量源，即高斯定理\(∇⋅E= \frac{ρ}{ε_0}\)

  • 如果一个封闭曲面内没有裹住电荷，那么穿入它的电场线一定会再穿出，那么电通量恰好抵消为0，所以通量的密度也就为0，即散度为0
  • 而如果这个封闭曲面包裹了正电荷，那电场线穿出后不会再穿入了，电通量不为0，也就有散度，而且电荷量越大，电场线也就越密集，散度也就越大

旋度∇×f

• 环流

  看出场中矢量的走势后，如果矢量线类似涡旋状，想衡量场沿闭合路径的“推动”的总量，就需引入环流：环流反映矢量场沿封闭路径的旋转趋势

  所谓“推动总量”“旋转趋势”，有以下几个例子解释：

  • 绕着台风眼走一圈，发现风速始终顺着你走的方向推动你（都是切向风）那么环流值很大，说明有强烈的旋转
  • 而平静的河面：水流只是笔直流过，沿着环线走时，有些段顺着水流，有些段逆着水流，加起来几乎抵消，即几乎没有环流

  在F场下对环路C的环流计算公式：\(Γ=∮_CF⋅dl\)，即矢量场沿路径切向分量的线积分，考虑方向一致为正、相反为负

• 旋度的定义

  旋度的本质是环流的密度，反映某点处矢量场的“旋转强度”

  从环流计算公式可见，环流的大小与所选环路C有很大关系，为了衡量场在不同位置的矢量线的旋转强度，把这个环路所包围的面积收缩到一点，就得到了某点处的旋度

• 旋度相关概念

  • 矢量线从某点发散，旋度衡量该点闭合曲线打转的强烈程度
  • 发出这种矢量线的源称为涡旋源
  • 有旋度的场的矢量线形成漩涡形状(类似同心圆)，对于无散场这些矢量线是闭合曲线，不再区分从某处发出与汇聚到某处(即散度为0)
  • 旋度为0的场称为无旋场

• 旋度的计算

  \(\nabla \times \mathbf{F} = \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{\hat{i}} & \mathbf{\hat{j}} & \mathbf{\hat{k}} \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[12pt] F_x & F_y & F_z \end{array}\right|\)

  计算结果为一个矢量，其数值大小就是该点处环流的面密度

  • 旋度 ≠ 0：该点有涡旋源（如电流产生磁场，磁场的方向将符合右手定律）
  • 旋度 = 0：该点无旋（如静电场）

• 物理含义

  以磁场为例，磁感线是无头无尾的闭合曲线，围绕着电流，电流是产生磁场的涡旋源：即安培环路定理\(∇×B=μ_0J\)

  • 如果一个闭合环路所围成的曲面上没有净电流穿过，那么沿着这个环路一圈，磁场对路径的“推动作用”（切向分量）就会相互抵消，其总和（环流）恰好为0，这说明该点附近磁场没有“打转”的净趋势，即该点的旋度为0
  • 而如果一个闭合环路所围成的曲面有净电流垂直穿过，那么磁场就会沿着环路方向产生一个净的“推动”，环流不为0，也就意味着该点有旋度，而且电流越大，磁感线环绕得就越密集、越“紧”，环流也就越大，该点的旋度也就越大

拉普拉斯算子∇²f

• 拉普拉斯算子概述

  \(∇²\)是拉普拉斯算子，其含义是：标量场φ梯度(即\(∇φ\))的散度(即\(∇·∇φ\))

  计算方法是\(\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\)

  ∇²f衡量的是函数值与其邻域平均值的差异，在泊松方程、热传导方程、波动方程中均有应用

• 拉普拉斯算子应用

  为何拉普拉斯算子可以衡量一点处函数值与其邻域平均值的差异程度？以温度场为例看计算过程：

  温度场\(T\)是标量场，假设你站在20°C的地方，你的周围都是25°C，显然你所在的地方比周围冷，那么热量会从周围流向你这里，在这一过程中：

  • 计算温度场的梯度(在空间中移动时温度上升最快的方向)，就得到了热量流动的方向−∇T(因为热量从高温流向低温故需取负)

  • 然后计算热量流动方向的散度，就得到了有多少“热流”汇聚到这一点（或从这一点流出）

    • \(∇^2f>0\)：该点低于周围平均值：净流入（周围热流进来）这点温度会升高，说明它比周围冷
    • \(∇^2f<0\)：该点高于周围平均值：净流出（热从这里跑出去）这点温度会降低，说明它比周围热
    • \(∇^2f=0\)：拉普拉斯方程，表示平衡状态：流入=流出，温度稳定

  • 因此，\(∇²T\)就衡量了某一点处的温度与它周围其他地方温度的差异

四大矢量场定理

• 其实光听名字我们就能知道这些定理和计算第二类线面积分用的高斯公式、斯托克斯公式、格林公式是同一回事，他们都用于联系不同类型积分关系（亥姆霍兹除外），在计算积分时叫公式，在这里叫做定理

• 高斯(散度)定理

  \[\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS \]

  矢量场的散度在立体V内的体积分 = 矢量场穿出体积V的边界面S的通量，这一定理联系了立体与其表面(体积分与面积分)，描述了源与通量的关系

  可以理解为一个气球装到水龙头上灌水，在气球表面扎很多洞漏水，气球内被灌入的总水量=气球表面流出的净水量

  对于电场，这一定理表明封闭曲面内的总电荷 = 通过曲面的电通量

• 斯托克斯(旋度)定理

  \[\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} \]

  矢量场的旋度在曲面S上的面积分 = 矢量场在曲面S的边界线C上的环流量(线积分)，这一定理联系了曲面与其边缘(面积分与线积分)，描述了旋度与环流的关系

  可以理解为台风内部旋转的总强度=沿着台风边缘的风速总和(积分)

  对于磁场，这一定理表明穿过环路的电流总和 = 沿着某一环路的磁环流

• 格林定理

  \[\oint_C (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy \]

  矢量场在区域D的边界线C上的环流量(线积分) = 矢量场的旋度在区域D上的面积分

  即二维版本的斯托克斯定理，这一定理联系了平面与其边缘(线积分与面积分)，描述了旋度与环流的关系

• 亥姆霍兹定理

  \[\mathbf{F} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A} \]

  又称分解定理，对任何矢量场，都可以分解为无旋部分+无散部分

  • 无旋部分：称为保守场(标量场的梯度构成的矢量场，特性为线积分值与路径无关)，是源产生的场，如静电场，重力场，
  • 无散部分：称为涡旋场，是涡旋产生的场，如感应电场