第五章

最小重量机器设计问题**是典型的组合优化问题：假设机器由( n )个部件组成，每个部件有( m )个可选供应商，第( i )个部件选第( j )个供应商的重量为( w_{ij} )，要求从每个部件中选一个供应商，使总重量最小。
一、回溯法分析该问题

1. 解空间：是长度为( n )的序列集合( { (x_1,x_2,...,x_n) | x_i \in {1,2,...,m} } )，其中( x_i )表示第( i )个部件选择的供应商编号，解空间规模为( m^n )。

2. 解空间树：以“部件选择”为层次的( m )叉树。根节点对应“未选择任何部件”，第( i )层节点对应“已确定前( i )个部件的供应商”，每个节点有( m )个子节点（对应下一个部件的( m )种选择），叶节点对应完整的供应商组合。

3. 节点状态值：遍历中每个节点需记录两个核心状态：

   • 已选部件的累计重量（用于剪枝：若当前累计重量已超过已知最优解，则剪去该分支）；
   • 已确定的前( k )个部件的供应商选择（记录当前选择路径）。
     二、回溯算法的理解
     回溯算法是一种“试错式”的暴力搜索策略，通过深度优先遍历解空间树，在遍历中利用“剪枝”避免无效搜索。其核心逻辑是：逐步构建解的候选集，若候选集不满足约束条件则回溯（回退到上一步），否则继续扩展。回溯算法的优势是能遍历所有可能解，确保找到最优解；缺点是时间复杂度高（通常为指数级），但通过剪枝（如最小重量问题中基于当前累计重量的剪枝）可大幅优化效率。它适用于组合优化、排列组合等解空间离散且规模可控的问题，是算法设计中“精确求解”类问题的基础方法之一。