第四章

从代码可知，该问题是区间选点问题，目标是用最少的点覆盖所有区间，每个点至少落在一个区间内。

1. 贪心策略

• 步骤1：将所有区间按右端点从小到大排序；
• 步骤2：选择第一个区间的右端点作为第一个选点；
• 步骤3：依次遍历后续区间，若当前区间的左端点大于已选的最后一个点，则选择当前区间的右端点作为新的选点，重复此过程直到覆盖所有区间。

2. 贪心选择性质的证明
   贪心选择性质：“每一步的局部最优选择，能导致全局最优解”。

• 假设存在最优解 ( S )，其第一个选点为 ( x )（覆盖第一个区间 ( [a_1, b_1] )）。
• 由于区间按右端点排序，( b_1 \leq x )（否则 ( x ) 无法覆盖 ( [a_1, b_1] )）。
• 将 ( S ) 中的 ( x ) 替换为 ( b_1 )，新的点集 ( S' ) 仍能覆盖所有区间（因为 ( b_1 \leq x )，原被 ( x ) 覆盖的区间也会被 ( b_1 ) 覆盖）。
• 因此，选择第一个区间的右端点是贪心选择，且该选择能导出全局最优解。

3. 时间复杂度分析

• 排序区间的时间复杂度：( O(n \log n) )（基于比较的排序算法）；
• 遍历区间选点的时间复杂度：( O(n) )；
• 总时间复杂度：( O(n \log n) )（排序为主要开销）。

对贪心算法的理解
贪心算法是一种局部最优导向全局最优的算法策略，核心特点：

1. 每步贪心选择：每一步都做出当前状态下最优的选择（局部最优）；
2. 无后效性：过去的选择不会影响未来的选择，仅依赖当前状态；
3. 适用条件：问题需满足“贪心选择性质”和“最优子结构性质”（全局最优解包含局部最优解的子解）；
4. 优缺点：
   优点：实现简单、时间复杂度低；
   缺点：并非所有问题都适用（需严格满足条件），否则可能得到次优解。

常见应用场景：区间调度、哈夫曼编码、最小生成树（Prim/Kruskal算法）等。