第三章

1 递归方程式的定义与边界条件

在动态规划中，解决“数字三角形”问题通常涉及到构建一个递归方程式。递归方程式通常表示为[f(i,j)=\text{triangle}(i,j)+\min(f(i+1,j),f(i+1,j+1))]其中(f(i,j))表示到达三角形第(i)行第(j)列的最小路径和，(\text{triangle}(i,j))是三角形中该位置的值。边界条件是三角形的最后一个元素，即[f(n,0)=f(n,n-1)=\text{triangle}(n,n-1)]这里(n)是三角形的行数。

2 填表法的维度、范围和填表顺序

填表法中，表的维度是二维的，与三角形的行数和列数相对应。填表的范围是从三角形的倒数第二行开始，直到第一行。填表顺序是从三角形的底部向上逐行计算，即从((n-1,0))到((0,0))。原问题的最优值是表格的第一个元素(f(0,0))，它表示从三角形顶部到底部的最小路径和。

1.3 时间和空间复杂度分析

该算法的时间复杂度是(O(n^{2))，其中(n)是三角形的行数。这是因为我们需要计算三角形中每个元素的最小路径和，而每个元素的计算依赖于其下方的两个元素。空间复杂度也是(O(n}2))，因为我们使用了一个与三角形大小相同的表格来存储中间结果。如果需要优化空间复杂度，可以通过只存储上一行的结果来减少到(O(n))。

对动态规划算法的理解和体会

动态规划是一种通过将复杂问题分解为更简单的子问题来解决的方法。它适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。在“数字三角形”问题中，每个位置的最小路径和依赖于其下方的两个位置，这正是动态规划的典型应用场景。

动态规划的核心在于递归方程式和边界条件的确定，以及如何有效地填表。填表法的顺序和范围的选择对于算法的效率至关重要。在实践中，动态规划不仅提高了问题的解决效率，还提供了一种系统化的方法来分析和解决问题。

通过动态规划，我们可以避免重复计算相同的子问题，从而显著提高算法的效率。这种方法在计算机科学中有着广泛的应用，如路径规划、资源分配、组合优化等。理解和掌握动态规划，对于解决复杂问题具有重要意义。