【学习笔记】SE1-1A 树状数组

< 数据结构 >  树状数组：

概述

树状数组（Binary Indexed Tree,BIT,也称二叉索引树）是一个支持元素增加操作与计算区间和操作的较快速的数据结构。

其主要运用了lowbit的思想，构造出了如图的索引树

lowbit

在如图的树中，每一层都代表着第n个元素最低位的1的对应值，

例如6的二进制110对应的最低位的1对应值是10，即是十进制下的4，

所以

观察得

这是因为计算机中负数表示为按位取反后加1的，注："&"表示按位与，都为1即为一。

拓展到所有正整数上，可以得到

解释

给出 A 数组， 为元素的序列

我们可以发现，如图中的树，如果他是右儿子，那么它的父亲就是，如果他是左儿子就是

 

先引入 C 数组，其中

可以看出，这代表的是图中一个横条(即第i个元素所在横条包括其下面)的元素和，

(1)我们要求的是区间和，所以就可以用前缀和的方法求，不难发现，节点13的前缀和(在后面用Si表示前缀和)在图上就是这样的

 即为图中灰色部分的长条之和，即为

 代码如下

int ask(int i)
{
    int ans = 0;
    while (i > 0){
        ans += Ci[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return ans;
}

当然，这是求前缀和的的代码，要求区间(l,r)的和，就用即可

(2)我们还要增加某一元素的值，因为在图中C值是相互联系的，所以我们发现，要改变某一元素的值，还要改变其祖先节点的C值

 这里也以11为例，修改元素11的值，那么就得修改如图

标灰横条的值，都加上11结点的增量 ，代码如下 

void add(int i,int b){
    while (i <= n){
        Ci[i]+=b;
        i += lowbit(i);
    }
}

 That's the END