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线性基学习笔记 异或及其线性空间 对于异或运算，我们规定某正整数有限集 \(S\) 的 异或和 为： \[\mathrm{XOR}(S) := \ S_1\ \mathrm{xor}\ S_2\ \mathrm{xor}\cdots\ \mathrm{xor}\ S_n \]特别地，规定 \(\ma 阅读全文
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最小生成树与最短路 注意：本文中列出的所有“解释”有可能不是该算法的严格数学证明 I 概念 对于一个连通带权图 \(G = (V, E)\)，我们称包含所有点的一个连通树子图为其一个生成树，即 $H = (V', E'),\ V' = V, E'\subseteq E, \vert E' \vert 阅读全文
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网络流与二分图初步 我们约定，对于有向图 \(G = (V,E)\)，分析复杂度时 \(m = |E|, n = |V|\)。 在分析时间复杂度时，网络流的实际表现基本都优于其理论上的时间复杂度表现。 I 概念 （1）网络流： 在一个有向带权图上（不考虑自环和重边），与最短路类似，我们定义一个源点 阅读全文
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OI 数学学习笔记 001_ 整除 001.1_ 整除基础 001.1A 基本定义 整除与因数倍数的定义： 设 \(a,b \in \mathbb{Z}，b \ne 0\)，若存在 \(q \in \mathbb Z\)，使得 \(a = bq\)，则称 \(b\) 整除 \(a\)， 记为 \(b 阅读全文
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萌新的第一篇题解 题目大意 对于一个初始颜色都为蓝色的数组 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 其中 \(a_n \in \{0,1,2\}\)，现在可以进行两个操作： 花费 \(1\) 个金币，将 \(a_i\) 涂成红色； 选择一个红色的 \(a_i > 0\)，将 \(a_{i-1}\ 阅读全文
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题意 给定一个数组 \([a_1,a_2,a_3.\cdots,a_n]\)，一开始所有元素都为白色。你可以选定其中的至少一个元素涂成黑色，共有 \(2^n - 1\) 种涂法。此时对于所有黑色元素 \(a_i\) , 下标为 \(i\) 的倍数的所有白色元素都将变成绿色。此时数组中所有黑色和绿色元 阅读全文
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USACO24 JAN Ag Competencey 题解 质量好高的思维题！但是赛时网络波动，最后一点时间才过了。 不难想到，我们先将所有的要求按照右端点排序。我们首先发现： 对于一个要求 \((a_i, h_i)\)，所有 \([a_i, h_i)\) 之间的牛的领导力都低于 \(h_i\)。 阅读全文
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< DP动态规划 > 区间DP： 概述： 区间 DP 是一类比较简单的 DP ，通过分区间进行 DP ，再将各个区间的贡献合并，取区间最优解，最终达到DP的效果。 区间 DP 一般适用于较为明显的合并类问题，或是需要题干中出现了分部分的内容；在一些问题中，区间 DP 可能和记忆化搜索十分相像。 实现 阅读全文
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< 数据结构 > 树状数组： 概述 树状数组（Binary Indexed Tree,BIT,也称二叉索引树）是一个支持元素增加操作与计算区间和操作的较快速的数据结构。 其主要运用了lowbit的思想，构造出了如图的索引树 lowbit 在如图的树中，每一层都代表着第n个元素最低位的1的对应值， 例 阅读全文
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< 搜索 > BFS 广（宽）度优先搜索： 基本思想：在一棵决策树上，逐层搜索，先搜索离根节点近的，最后到最底层。 实现：这里使用队列完成，首先添加根节点（即初始状态），再逐个将决策树的原始根节点的各子节点从左往右加入队列； 每次大循环取出队头输出（或记录），并POP掉队头，直到队列空为止； 代码实 阅读全文