Tarjan专题总结复习
定义：
\(dfn[x]\)：\(x\)第一次被访问的时间顺序（时间戳）
搜索树：每个节点只访问一次，所有访问过的边\((x,y)\)构成一棵搜索树
\(low[x]\)：定义为以下节点的时间戳的最小值：
\(1.\)\(subtree(x)\)中的节点。
\(2.\)通过\(1\)条不在搜索树上的边，能够到达\(subtree(x)\)的节点。
代码：（有向图强连通分量）
void Tarjan(int x)
{
low[x] = dfn[x] = ++ ind;//初始值
que[ ++ top] = x;//进队
vis[x] = 1;//标记
for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
{
int y = to[i];//枚举x子节点y
if (!dfn[y])
{
Tarjan(y);
low[x] = min(low[x], low[y]);//在子树中，是x的儿子，直接更新
}
else if (vis[y]) low[x] = min(low[x], dfn[y]);
//已经访问过，且y不是x的儿子，因为dfn[y]一定小于dfn[x]，那么用dfn[y]更新（不用low[y]更新，因为它们不一定在同一个强连通分量中，防止更新过头）
}
if (dfn[x] == low[x])//形成了一个环，说明x是一个强连通分量的根
{
cnt ++ ;//新的强连通分量
int now = -1;
do
{
now = que[top -- ];
vis[now] = 0;
col[now] = cnt;//染色，标记now属于当前强连通分量cnt
} while (now != x);//弹出
}
return;
}
应用
缩点
在跑了一遍Tarjan后，对于原来的每条边对应的点对\((x,y)\)，若\(col[x]==col[y]\)，说明它们在同一个强连通分量内，则它们不用在新的图中连边，否则要连。
伪代码：
for (int x = 1; x <= n; ++ x)
{
for (int i = hd[x]; i; i = nxt[i])
{
int y = to[i];
if (col[x] != col[y]) add(col[x], col[y]);
}
}
割点/割边
注意：无向图中不要记\(vis\)，只用传一条边进去即可，但是此时一个点也会被判为强连通分量
割点定义：若去掉无向联通图的某个点后，此图不连通，则该点为割点。割边同理。
判断方法：
割边：\(dfn[x]<low[y]\)（说明从\(subtree(y)\)出发，在不经过(x,y)的前提下，无论走那条边，都无法到达\(x\)或比\(x\)更早的节点，这就是一条割边）
割点：\(dfn[x]\le{low[y]}\)（和割边同理。特别地，若\(x\)是搜索树根节点，那么\(x\)是割点当且仅当它存在至少两个子节点\(y_1,y_2\)满足条件）
伪代码（割点）
if (low[y] >= dfn[x])
{
t ++ ;
if (x != rt || t > 1) cut[x] = 1;
}
