随笔分类 - 数学
摘要：P4781 【模板】拉格朗日插值 广为人知的是，\((n+1)\) 个点可以唯一确定一个 \(n\) 次多项式，也就是多项式的点值表示法。 如果我们给出这 \(n+1\) 个点，想要求函数上的另外一个值，就需要用到拉格朗日插值法。 具体的，我们并没有将这个函数的表达式具体的求出来，而是直接求出我们想
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摘要：高斯消元是用来解 \(n\) 元 \(1\) 次方程组的办法。 P3389 【模板】高斯消元法 对于人而言，解方程组可能有一些技巧，但是对于计算机，我们需要通式通法。 对于一次方程组，一个比较通用的思路是加减消元。对于每个式子，我们将其化为只剩下一个未知数有系数，其余未知数的系数都为 \(0\) 的
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摘要：二项式反演 基本形式 二项式反演的形式与容斥很类似。 \[f(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\binom{n}{i} g(i) \Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\binom{n}{i} f(i) \]有几个更常用的形式 \[\
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摘要：这不是一个很详细的总的数论合集，只是一个比较简略，特别是证明很简略的类似笔记一样的东西。 数论分块 数论分块是相对基础的算法。其主要作用是化简带向上或向下取整的和式。 有引理： \[\forall a,b,c\in \mathbb{Z} ，\left \lfloor \frac{a}{bc} \ri
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摘要：裴蜀定理 对于不全为0的整数 \(a,b\)， \(\forall x,y\qquad gcd(a,b)|ax+by\) \(\exists x,y\qquad ax+by=gcd(a,b)\) 逆定理： 若 \(d>0\) 是 \(a,b\) 的公因数，使得 \(ax+by=d\)，则 \(d=g
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摘要：线性筛（欧拉筛）求质数 void shai() { sign[0]=sign[1]=1; for(int i=2;i<=N;i++){ if(!sign[i]) pri[++cnt]=i; for(int j=1;j<=cnt;j++){ if(pri[j]*i>N)break; sign[pri[
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摘要：普通生成函数（OGF） 定义 生成函数将数列转化成函数的形式处理。数列中的每一个数依次对应函数中的系数。具体而言，有 \[F(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i \]比较显而易见的特点是，如果系数所对应的序列有通项公式，则系数就是通项公式，如 对于 \(a_i=i^2\)，即 \(a=<1,
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摘要：一般而言，线性筛可以筛几乎所有积性函数，同时其思路清晰代码简短。 不过一般而言筛积性函数都是用于整除分块后用积性函数的前缀和。这时线性筛就有可能超时了。不过在很多情况下线性筛还是可堪一用的。 莫比乌斯函数 code mu[1]=1;int cnt=0,up=min(n,m);sign[0]=sign
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摘要：莫比乌斯函数 \[\mu(x)=\begin{cases}1\ \ &(x=1)\\(-1)^k\ \ &(\text{$x$没有平方数因子，且$x$的质因子个数为$k$})\\0 &(\text{$x$有平方数因子})\end{cases} \]很好理解 \(\mu\) 是积性函数。但是这个定义略
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摘要：欧几里得算法 \[\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b) \]显然至多递归 \(\log a\) 次。注意 \(\operatorname{lcm}(a, b)=\frac{ab}{\gcd(a,b)}\) 扩展欧几里得算法(exgcd) 对于方程 \[ax+by=c \]有解当且仅当
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摘要：斯特林数 第二类斯特林数 \({n \brace k}\) 表示 \(n\) 个元素划分为 \(k\) 个非空子集的方案数. 递推式： \[{\Large \begin{aligned} & {n\brace k}={n-1\brace k-1}+k{n-1\brace k} \\ & 其中 {n\
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摘要：对于质数 \(p\)，有 \[{ \begin{aligned} & \binom{n}{m} \equiv \binom{\left \lfloor n/p \right \rfloor }{\left \lfloor m/p \right \rfloor } \binom{n\mod{p}}{m
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摘要：定义 $\binom{n}{k} $ 表示从n个数中无序选出k个数的方案数。 根据定义，有 \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) 恒等式 \[{\Large \begin{aligned} & \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \ 对称\\
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摘要：欧拉函数 定义 对于一个数n，\(\varphi(n)\)是小于n的所有正整数中与n互质的数的个数 定义式：$\varphi(n)=n*\frac{p_{1}-1}{p_{1}} * \frac{p_{2}-1}{p_{2}} \cdots $ \(p_{i}\)是n的所有质因子 注意：一种质因子只
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