裴蜀定理

裴蜀定理

对于不全为0的整数 \(a,b\)，

1. \(\forall x,y\qquad gcd(a,b)|ax+by\)
2. \(\exists x,y\qquad ax+by=gcd(a,b)\)

逆定理：
若 \(d>0\) 是 \(a,b\) 的公因数，使得 \(ax+by=d\)，则 \(d=gcd(a,b)\)。
特别的，若存在 \(ax+by=1\)，则 \(a,b\) 互质。

在多个整数的情况下，裴蜀定理及其逆定理仍然成立。

进一步的，对于 \(C=ab-a-b\)，有
0可以被表示。
\(C\) 不能被表示。
负数不能被表示。
大于 \(C\) 的数可以被表示。
大于0小于 \(C\) 的一个数 \(n\)，\(C-n\) 与 \(n\) 有且仅有一个可以被表示。

其中对于任意一个整数 \(n\)，其可以被表示的定义是存在自然数 \(x,y\) 使得 \(ax+by=n\)。