【知识点】排列与组合

组合数常用公式

递推公式：$ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} $

全组合求和：$ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n $

全组合交错求和：$ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0 \quad (n \geq 1) $

上指标求和：$ \sum_{i=k}^{n} \binom{i}{k} = \binom{n+1}{k+1} $

范德蒙德卷积公式：$ \sum_{k=0}^{r} \binom{m}{k} \binom{n}{r-k} = \binom{m+n}{r} $

不相邻问题

问题一：无限制取数

在 $ 1 $ 到 $ n $ 一共 $ n $ 个数中任意选 $ k $ 个，有多少种选法？

显然，答案是：

\[\binom{n}{k} \]

问题二：不相邻取数

在 $ 1 $ 到 $ n $ 一共 $ n $ 个数中任意选 $ k $ 个，要求选出的数两两不相邻，有多少种选法？

令选出的数为 $ a_1, a_2, …, a_k $， 另设 $ b_1 = a_1, b_2 = a_2 - 1, …, b_k = a_k - k + 1 $，发现 $ b_1 < b_2 < … < b_k $是无限制的取数问题，故答案为：

\[\binom{n - k + 1}{k} \]

隔板法

隔板法用于解决相同元素的分组问题。

问题一：正整数和的数目

有 $ n $ 个完全相同的元素，将它们分成 $ k $ 组（这 $ k $ 组视为是不同的组），要求每组至少有一个元素，所有元素都要被分到某组，有多少种分法？

视为将 $ n $ 个元素横着摆成一排，往 $ n - 1 $ 个空隙中插入隔板，将不同组元素隔开。需要插入 $ k - 1 $ 个隔板，所以答案为：

\[\binom{n - 1}{k - 1} \]

问题二：非负整数和的数目

有 $ n $ 个完全相同的元素，将它们分成 $ k $ 组（这 $ k $ 组视为是不同的组），有的组的元素数量可以为空，所有元素都要被分到某组，有多少种分法？

假设有 $ n + k $ 个元素横着摆成一排，将它们分成 $ k $ 组，要求每组至少一个元素，这就是问题一了。然后每组内减去一个元素，就是问题二的答案：

\[\binom{n + k - 1}{k - 1} = \binom{n + k - 1}{n} \]

问题三：不同下界整数和的数目

给你一个非负整数序列 $ A $ ：$ a_1, a_2, …, a_k $ 。有 $ n $ 个完全相同的元素，将它们分成 $ k $ 组（这 $ k $ 组视为是不同的组），第 $ i $ 组至少有 $ a_i $ 个元素，所有元素都要被分到某组，有多少种分法？

先拿走 $ \sum{a_i} $ 个元素，剩下的任意分，这就转化成了问题二。最后把拿走的 $ \sum{a_i} $ 个元素按照 $ A $ 序列的要求还回每个组中，这就是问题三的答案：

\[\binom{n - \sum{a_i} + k - 1}{k - 1} = \binom{n + k - 1}{n - \sum{a_i}} \]

二项式定理

\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]

二项式定理也可以扩展成多项式定理的形式：

\[(x_1 + x_2 + \cdots + x_k)^n = \sum_{\substack{n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n \\ n_1, n_2, \ldots, n_k \in \mathbb{N} \cup \{0\}}} \frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \cdots \, n_k!} \cdot x_1^{n_1} x_2^{n_2} \cdots x_k^{n_k} \]

多重集相关

多重集的排列数

多重集是指包含重复元素的广义集合。设 $ S = {n_1 \cdot a_1, n_2 \cdot a_2, \cdots, n_k \cdot a_k} $ 表示由 $ n_1 $ 个 $ a_1 ， n_2 $ 个 $ a_2 ，…， n_k $ 个 $ a_k $ 组成的多重集，$ S $ 的全排列个数为：

\[\frac{n!}{\prod_{i=1}^{k} n_i!} = \frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!} \]

你可以认为你有 $ k $ 种不一样的物品，每种物品的个数分别是 $ n_1, n_2, \cdots, n_k $ ，且 $ n = n_1 + n_2 + \dots + n_k $ 。这 $ n $ 个物品的全排列数就是 多重集的排列数。多重集的排列数常被称作 多重组合数。我们可以用多重组合数的符号表示上式：

\[\binom{n}{n_1, n_2, \cdots, n_k} = \frac{n!}{\prod_{i=1}^{k} n_i!} \]

多重集的组合数

设 $ S = {n_1 \cdot a_1, n_2 \cdot a_2, \cdots, n_k \cdot a_k} $ 表示由 $ n_1 $ 个 $ a_1 $ ，$ n_2 $ 个 $ a_2 $ ，…，$ n_k $ 个 $ a_k $ 组成的多重集。那么对于整数 $ r (r < n_i, \forall i \in [1, k]) $，从 $ S $ 中选择 $ r $ 个元素组成一个多重集的方案数就是 多重集的组合数。这个问题等价于 $ x_1 + x_2 + \cdots + x_k = r $ 的非负整数解的数目，可以用插板法解决，答案为

\[\binom{r + k - 1}{k - 1} \]