【刷题日记】蓝桥村的真相（推理与规律）

P11003 [蓝桥杯 2024 省 Python B] 蓝桥村的真相

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题目描述

在风景如画的蓝桥村，\(n\) 名村民围坐在一张古老的圆桌旁，参与一场思想
的较量。这些村民，每一位都有着鲜明的身份：要么是誉满乡野的诚实者，要么是无可救药的说谎者。

当会议的钟声敲响，一场关于真理与谬误的辩论随之展开。每位村民轮流发言，编号为 \(i\) 的村民提出了这样的断言：坐在他之后的两位村民——也就是
编号 \(i + 1\) 和 \(i + 2\)（注意，编号是环形的，所以如果 \(i\) 是最后一个，则 \(i + 1\) 是
第一个，以此类推）之中，一个说的是真话，而另一个说的是假话。

在所有摇曳不定的陈述中，有多少真言隐藏在谎言的面纱之后？

请你探索每一种可能的真假排列组合，并计算在所有可能的真假组合中，
说谎者的总数。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 \(T\)，表示每次输入包含 \(T\) 组数据。

接下来依次描述 \(T\) 组数据。

每个数据一行包含一个整数 \(n\)，表示村落的人数。

输出格式

输出 \(T\) 行，每行包含一个整数，依次表示每组数据的答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

2
3
3

输出 #1

6
6

说明/提示

对于 \(10\%\) 的评测用例，\(T = 1，3 \le n \le 10\)。

对于 \(40\%\) 的评测用例，\(1 \le T \le 10^2，3 \le n \le 3 \times10^3\)。

对于所有评测用例，\(1 \le T \le 10^5，3 \le n \le 10^{18}\)。

样例解释

在样例中，可能的组合有「假，假，假」「真，真，假」「真，假，真」「假，
真，真」，说谎者的总数为 \(3 + 1 + 1 + 1 = 6\)。

题解

思路

当所有人说假话

首先，当所有人都是无可救药的说谎者时：每个人说自己之后有人说真话，这显然是说谎！所以，所有人都在说谎，这是肯定没错的。

如果有人说真话

那有人说真话的情况下，不产生冲突的情况有哪些呢？

记录说真话的人为\(1\)，说谎话的人为\(0\)。

假设第一个人说真话，那么第二个人和第三个人中就有一真一假。

如果第二个人说真话

如果第二个人说真话，则目前的串为\(110\)。

如果存在第四个人，则根据\(2\)号所言，\(3\)和\(4\)中有一个说真话的人，\(3\)说假话，那么\(4\)一定说真话，得到\(1101\)，这时显然不能结束（如果一共只有\(4\)个人，推理结束，则\(4\)号说\(1\)号和\(2\)号有一个人说假话，则\(4\)号说错了！），一定需要存在第五个人。
根据\(3\)号所言，\(4\)号和\(5\)号并不是“一真一假”，即“都真”或“都假”，已知\(4\)号说真话，则\(5\)号说真话，得到\(11011\)，这时仍然不能结束（如果一共只有\(5\)个人，推理结束，则\(5\)号说\(1\)号和\(2\)号有一个人说假话，则\(5\)号说错了！），一定需要存在第六个人。
根据\(4\)号所言得知\(6\)一定说假话，这时推理可以结束，得到\(110110\)，\(6\)号说\(1\)号和\(2\)号并非“一真一假”，即“都真”或“都假”，不矛盾，这是个合理的结束。也可以继续推理下去。

这时初见端倪：如果前三个人为\(110\)，则第四个到第六个人也为\(110\)，且有且只有这种递推可行，并且中间不能断掉（不能只有\(4\)或\(5\)个人）。同样，第七到第九个人也为\(110\)，不能中间断掉（不能只有\(7\)或\(8\)个人）。

如果第二个人说假话

如果第二个人说假话，则目前的串为\(101\)。

如果存在第四个人，则根据\(2\)号所言，\(4\)应该说真话，得到\(1011\)，此时不能结束（\(3\)号说真话，但\(4\)和\(1\)都说真话，与\(3\)号所言矛盾），递推……直到推理出\(101101\)才能结束。也可以继续推理下去。

发现规律

前三个人的组合可以是\(011\),\(101\),\(110\)，共三种组合方式，每种都可以无限延伸下去，前提是人数必须为\(3\)的倍数。当然，所有人都说假话，也是可行的。

总结规律

如果人数是\(3\)的倍数，在以上三种组合方式中，根据\(n mod 3\)（\(n\)对\(3\)取模）为\(0/1/2\)，总会出现一次，则这三种方案一共出现了\(n\)个说假话的人。加上所有人都说假话时的\(n\)个，答案为\(2n\)。

如果人数不是\(3\)的倍数，则只有“都说假话”一种可能性，所以答案为\(n\)。

\[ ans = \begin{cases} 2n & n \equiv 0 (mod 3) \\ n & n \not\equiv 0 (mod 3) \end {cases}\]

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;

i64 n, t;

int main() {
	cin >> t;
	while (t--) {
		cin >> n;
		if (n % 3 == 0) {
			cout << 2 * n << '\n';
			continue;
		}
		cout << n << '\n';
	}
	return 0;
}