【知识点】KMP算法

定义

KMP算法（Knuth-Morris-Pratt算法）是一种高效的字符串匹配算法，由三位大佬1977年联合提出，它能解决在一个字符串中找到另一个字符串的功能。

待匹配串：用于寻找模式串的原串。
模式串：需要在待匹配串中找到的子串。
前缀：从串首开始往后到串中（末）的一部分子串
后缀：从串中（首）开始往后到串末的一部分子串
公共前后缀：两个完全相等的子串，一个为前缀，一个为后缀，如abcab的ab即公共前后缀。
最长公共前后缀：公共前后缀中长度最长的一个。如abacaba中的aba。

前缀函数

定义

前缀函数是一个数组。第i个（下标从0开始）数字表示：截至下标为i的字符的前缀，其最长公共前后缀的长度。一般符号为\(Π\)。
如abacabab，其前缀函数为0, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 2。对于i=5的情况，前缀为abacab，最长公共前缀为ab，前缀函数为2.

前缀函数的计算

对于第i个前缀函数pi[i]，可以由前面的前缀函数递推而来。刚开始，我们需要比较s[pi[i-1]]与s[i]（对比是否能延伸第i-1个前缀函数的最长公共前后缀，相等说明可以延伸。比如abaca，最长公共前后缀为a。加入b变为abacab，由于两个b相等，所以最长公共前后缀从a延伸为ab。），如果相等，则pi[i] = pi[i-1] + 1。如果不相等，我们退而求其次。接下来，我们需要知道i-1的次长公共前后缀。根据相等的转换关系，令k = pi[i-1]为第一次需要查询的位置，不断令k = pi[k-1]直到k=0或s[k]==s[i]即可。
如abacabab，前缀函数为0, 0, 1, 0, 1, 2, 3, ?。i=7。初始时k取3，表示不加入b时（前7个字符）最长公共前后缀长度为3（aba），对比s[3]与s[7]，发现'c' != 'b'，因此需要取舍。要找不加入b时的次长公共前后缀，首先要知道，前三个和后三个相等（因为pi[6] = 3），即0-2与4-6相等。那还有0-?与?-6相等呢？查询pi[k-1]即pi[2]，为1，表示0-0与2-2相等，又因为0-2与4-6相等，所以s[2]与s[6]相等，即0-0与6-6相等，找到次长公共前后缀为a，长度为1.然后发现，s[1] == s[i]，可以延伸该公共前后缀，延伸后长度为1.

代码实现

for (i64 i = 1; i < s.size(); i++) {
	k = pi[i - 1];
	while (k && s[k] != s[i])	//保证k>0的情况下不断找公共前后缀
		k = pi[k - 1];
	pi[i] = k + (s[k] == s[i]);
}

KMP的实现

以下是“合并串”的KMP。将s2（模式串）与s1（待匹配串）连接起来，中间用不可能出现在s1和s2中的字符分隔。然后对合并串求前缀函数，在pi[i] == s2.size()的地方，找到了一次匹配。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;

string s1, s2, s;
i64 k, pi[2000100];

int main() {
	cin >> s1 >> s2;
	s = s2 + '#' + s1;	//合并串
	for (i64 i = 1; i < s.size(); i++) {
		k = pi[i - 1];
		while (k && s[k] != s[i])	//保证k>0的情况下不断找公共前后缀
			k = pi[k - 1];
		pi[i] = k + (s[k] == s[i]);
		if (pi[i] == s2.size())
			cout << i + 1 - s2.size() * 2 << '\n';	//打印位置
	}
	return 0;
}