【知识点】配对堆

定义

配对堆是一棵满足堆性质的带权多叉树。它是一种可并堆，可以快速和其他配对堆合并。速度快，结构简单，不可持久化。

存储方式

一般采用儿子-兄弟表示法，每个结点保存其第一个儿子与第一个兄弟所在指针，若不存在则存为nullptr。

操作

查询最小值

直接访问根节点的值即可，时间复杂度为O(1)。

合并

两个配对堆，根更大的那个，成为根更小的那个的第一个儿子。

Node* meld(Node* x, Node* y) {
  if (x == nullptr) return y;
  if (y == nullptr) return x;
  if (x->v > y->v) std::swap(x, y);
  y->sibling = x->child;
  x->child = y;
  return x;
}

合并的时间复杂度为O(1)。

删除最小值

首先，访问根节点，并删除。然后，原根节点的所有儿子将形成n个新的配对堆。从左到右，使新的配对堆两两配对合并，形成几个新的配对堆。这些新的配对堆，从右到左，前两个合并出的新配对堆与第三个合并，以此类推……

Node* merges(Node* x) {
  if (x == nullptr || x->sibling == nullptr)
    return x;
  Node* y = x->sibling;
  Node* c = y->sibling;
  x->sibling = y->sibling = nullptr;
  return meld(merges(c), meld(x, y));
}

Node* delete_min(Node* x) {
  Node* t = merges(x->child);
  delete x;
  return t;
}

删除的均摊复杂度为O(logn)，注意严格按照上述顺序进行合并。