【刷题日记】经典题目：八皇后问题（DFS回溯搜索）

八皇后问题题面

[USACO1.5] 八皇后 Checker Challenge（洛谷P1219）

一个如下的 \(6 \times 6\) 的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线（包括两条主对角线的所有平行线）上至多有一个棋子。

上面的布局可以用序列 \(2\ 4\ 6\ 1\ 3\ 5\) 来描述，第 \(i\) 个数字表示在第 \(i\) 行的相应位置有一个棋子，如下：

行号 \(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\)

列号 \(2\ 4\ 6\ 1\ 3\ 5\)

这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出，解按字典顺序排列。
请输出前 \(3\) 个解。最后一行是解的总个数。

输入格式

一行一个正整数 \(n\)，表示棋盘是 \(n \times n\) 大小的。

输出格式

前三行为前三个解，每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字，表示解的总数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4

提示

【数据范围】
对于 \(100\%\) 的数据，\(6 \le n \le 13\)。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

DFS法题解

题目背景

在国际象棋中，“皇后”这类棋子可以攻击同一行、同一列、同一主对角线或同一副对角线的所有棋子。我们想在8*8的棋盘上放下正好8个皇后，使它们互相无法攻击彼此，问有多少种不同的放法？（区分对称放法）这就是八皇后问题的背景。后来，大家将其发展成了N皇后问题，即N*N的棋盘上放N个互不攻击的皇后。此题解决\(6 \le N \le 13\)的情况。

分析

在数据量较小的情况下，可以选择暴力搜索。
显然，同一行不可能存在两个及以上皇后，所以我们只需要找每行的皇后在第几列然后输出。根据我们的模拟思想，去模拟一个一个放下皇后的过程。我们可以先放第一行皇后，然后放第二行，第三行……如果到最后没有一个位置可以用来放皇后，那就说明上一步本身就是错的，我们需要拿起上一个皇后重新放。如果最后放下了所有皇后，我们又需要拿起最后的皇后重新放，去找其他解。也就是说，无论如何我们都需要回溯。
继续分析，本题的难点是如何保存某种状态，并在一段时间运行之后回到这种状态（即回溯）。分析题目，注意到，设行为i，列为j的格子，容易发现，同列格子j相等，同主对角线及其平行线的格子i-j(为了避免i<j时i-j<0，这里写作i-j+15)相等，同副对角线及其平行线的格子i+j相等。容易证明，这三者为充要条件。
所以我们利用这三者创建三个数组，去比较不同行的queen是否相互攻击。只要这三者有一个成立，则相互攻击。三个数组中，我们把某行某列对应的棋子攻击范围标记好，则可直接通过判断三者是否有一个成立，来判断新的queen是否在其他queen攻击范围内。要回溯也很简单，只需要将上一步三者的值改回默认值0即可。

AC代码

#include <iostream>
using namespace std;

long long column[50],main_diag[50],sub_diag[50],ans[15];
long long n,all_sum = 0;

void save(long long r,long long c){
	column[c] = 1;
	main_diag[r-c+15] = 1;
	sub_diag[r+c] = 1;
}

void unsave(long long r,long long c){
	column[c] = 0;
	main_diag[r-c+15] = 0;
	sub_diag[r+c] = 0;
}

void dfs(long long now)	//寻找第now个皇后的位置并找下一个
{
	if(now>n)	//找到一解，进行结算
	{
		all_sum ++;
		//输出答案
		if(all_sum<=3){
			for(long long i = 1;i<=n;i++)	printf("%lld ",ans[i]);
			printf("\n");
		}
		return;
	}
	for(long long i = 1;i<=n;i++){	//遍历本行所有可以放皇后的位置
		if(column[i] || main_diag[now-i+15] || sub_diag[i+now])	continue;	//排除被攻击区域
		ans[now] = i;	//保存答案
		save(now,i);	//保存当前新增影响区域
		dfs(now+1);		//寻找下一个皇后
		unsave(now,i);	//回溯，删除当前新增影响区域
	}
	return;
}

int main(){
	scanf("%lld",&n);
	dfs(1);
	printf("%lld",all_sum);
	return 0;
}