AT_arc058_d [ARC058F] 文字列大好きいろはちゃん

显然直接做不会优于 \(O(nk^2)\)，我们需要对字典序这个东西发掘一些更深的性质。

假设我们考察完 \([1, i]\) 中每个字符串 \(s\)，设 \(f_{i, j}\) 为前 \(i\) 个字符串拼出长度为 \(j\) 的字符串最小字典序是多少，容易发现该状态有用当且仅当 \([i + 1, n]\) 能够拼出一个长度为 \(k\) 的字符串，这一点可以背包预处理，这样我们丢掉了一些可能会影响下面过程正确性的状态，剩下的所有状态都是对转移生效的。

我们考察 \(f_{i}\) 的有用 \(j\) 集合 \(S = \{j_1, j_2, ..., j_k\}\)，如果对于 \(1 \le p \le q \le k\)，\(f_{i, j_p}\) 与 \(f_{i, j_q}\) 不形成前后缀关系，则字典序较大的那一方必然是无用状态，经过这么一步，我们得到精简过后的有用 \(j\) 集合 \(T = \{j_1, j_2, ..., j_l\}\)，其中按照从小到大的顺序依次满足前后缀关系，所以我们只需要记录最长的串的长度和有用 \(j\) 集合 \(T\) 即可。 那么现在状态数下调到了 \(O(nk)\)。

接下来考察转移，如果需要转移到 \(i + 1\)，则枚举 \(T\) 中每个 \(j\) 尝试往后面插入得到一个字典序更小的字符串（当然，插入后长度得合法才行），显然，此时会保留原来最长的串一个极长合法前缀再拼上 \(s_{i + 1}\)，这一步只需要比较字典序大小，貌似可以用 Z 函数和 SA 做，不知道能不能用哈希，应该是可以的。

到这里复杂度就是 \(O(nk)/O(nk \log n)\)。

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这个题也不是很简单，需要先想到保留有用状态之后，将必然不会成为最优状态的状态给干掉，全部做法都围绕字典序选前不选后的性质展开。