P9371 [APIO2023] 序列 / sequence

这题凭啥简单啊？

中位数考虑设计 \(-1, 1\) 状态，但是一般我们都是搭配二分使用，只要求和 \(\ge 0\) 即可，但是这里需要得到中位数的充要条件，显然就不能这么马马虎虎。

那么一个区间 \([l, r]\) 的中位数为 \(c\)，当且仅当：

• \([l, r]\) 中出现了 \(c\)。
• \(\le c\) 的数个数大于等于 \(> c\) 的数个数。
• \(\ge c\) 的数个数大于等于 \(< c\) 的数个数。

这就非常好了，设第一种情况 \([1, i]\) 的前缀和为 \(s_{0, i}\)，第二种情况 \([1, i]\) 的前缀和为 \(s_{1, i}\)，一切工作就绪，但是第一个条件不好刻画，不妨将第一个条件去掉，·因为我们本来就是要求 \(\max\)，\(0\) 肯定不会被纳入 \(\max\) 之列。

接下来枚举单个 \(c\)，可以从 \(1\) 扫到 \(i\)，那么形式上就是计算一个三维偏序最值问题，看似是三维偏序，实则发现 \(l > r\) 必定不优，所以就是二维偏序，现在时间复杂度可以做到 \(O(n^2 \log n)\)。

最后就是一些 dirty work，注意到缩掉所有不包含 \(c\) 的段，每个段里我只关心 \(s\) 的极值，通过一些手法处理可以得到这个值的位置，比如说你线段树去处理，这样就可以得到 \(O(n \log n)\) 的复杂度。