雨落之前

贵校是状压王国吗。

初始设 \(f_{S, T}\) 为下雨的点集为 \(S\)，使用过的边集为 \(T\) 可行解数量，这样状态就是 \(O(2^{C_{n}^2 + n})\) 级别的，太不牛了，我们需要进行一个状态的压。

考虑先处理一下第一个维度，那么发现用了哪些点我是不关心的，我只关心用的点数量和还没有达到 \(a_i\) 的限制的点的数量，当我的 \(|S| = a_i\) 时，我可以任意分配到底哪个点为 \(i\) 来记录方案数，类似贡献延后钦定，这一部分状态数优化到 \(O(n^2)\)。

接下来是边集的转化，不妨将边 \((u, v)\) 分为三种类型：

• \((u, v)\) 都不在 \(S\) 中。
• \((u, v)\) 都在 \(S\) 中。
• 一个在 \(S\) 中一个不在 \(S\) 中，不妨令在 \(S\) 中的结点为 \(u\)，不在 \(S\) 中的结点为 \(v\)。

前面两种显然可以只用统计个数，利用一样的手法将状态数优化到 \(O(n^2)\)，接下来的重中之重是分析第三个状态的具体数量。

记录目前在 \(S\) 中的每个点 \(x\)，其像第三类出边的数量为 \(b_x\)，此时，我们对于 \(x\) 的顺序是不关心的，也就是说，我们可以将 \(b\) 当成一个可重集，更近一步，我们只关心关于 \(b\) 的一个桶，因为我们还是分配对应出现次数具体是什么，下面我们证明这一步状态数为 \(O(2^n)\) 级别：

• 将桶数组做一个前缀和，不难发现状态数为：长度为 \(i\)，值域为 \([0, n - i]\) 的不降序列个数和，利用组合计数技巧和恒等式可以得到这一部分和为 \(O(2^n)\)。

具体来说，实现可以暴力状压。

到目前为止，我们将状态数做到了惊人的 \(O(2^n n^4)\)。

std 说使用轮廓线依次考虑每种第三类边的连边，可以做到总复杂度 \(O(2^n n^5)\)，显然这不是本题的关键点，是偏技巧性的东西。