雨停之后

容斥水平还是太过低手。

题意就是让你对若干个短项式快速做 FWT 或卷积。

考虑要求的式子：

\[f(t) = \sum_{b_1 | b_2 | ... | b_n = t} \prod_{i = 1}^n a_{i, b_i} \]

这个东西非常不牛，考虑转化：

\[g(t) = \sum_{b_1 | b_2 | ... | b_n \subseteq t} \prod_{i = 1}^n a_{i, b_i} \]

根据子集反演的结论，有：

\[f(s) = \sum_{t \subseteq s}(-1)^{|s| - |t|} g(t) \]

我们只需要快速的求出 \(g(t)\) 即可做一遍高维前缀和得到答案。

那么我们将 \(g(t)\) 换一种形式写出来：

\[g(t) = \prod_{i = 1}^n \sum_{j \subseteq t} a_{i, j} \]

思考实际上对于固定的 \(i\)，很多种 \(j\) 后面的求和都是一样的，本质是因为 \(a_i\) 中非零位置极少，事实上考虑的仅是有值的地方的子集，具体来说，我们对于每个 \(a_i\) 分别考虑对 \(g(t)\) 的贡献，看一下能不能分析出来某些事情。

不妨令 \(a_i\) 中有值的位置为 \(U = \{c_1, c_2, ..., c_k\}\)，则对于其中每个 \(p \subseteq U\)，考虑 \(\sum_{j \in p} a_{i, j}\) 能够被贡献到哪里，显然可以贡献到 \(p\) 的所有超集部分，我们不妨令这个值为 \(v_p\)，但是显然如果对于一个 \(t\) 来说，\(p_1 \subseteq t, p_2 \subseteq t\)，那么此时就会被算重，考虑容斥，在算 \(p_1, p_2\) 中较大的那个时将较小的贡献容斥掉，你会发现容斥系数和 \(|p|\) 的奇偶性有关，根据某个恒等式，最终可以得出 \(p\) 的贡献值 \(con(p)\) 为：

\[\sum_{q \subseteq p} (-1)^{|p| - |q|} v_q \]

由于是乘积，我们可以选择先将其打 tag 到一个数组上，最后再跑一遍高维后缀积即可求出 \(g(t)\)，最后反演一遍可以得出 \(f(s)\)。