冻鱼

https://xinyoudui.com/ac/contest/74500D282000A6307D6541/problem/43709

话说这是人类能够写出来的题面吗？

首先把中间的连续非零段剥出来。

发现从 \(s \to t\) 的路径结构为，从 \(s \to 1 \to n \to t\)，对于 \(1, n\) 这两个路径端点需要特殊考虑，将这一部分先减掉。发现剩余的部分一定形如若干个重复的环，由于这道题目是基于点的，所以这些环一定可以被一些一元环给拼成，考虑到一元环的本质是将相邻两个数减 \(1\)。不难发现此时可以贪心的匹配个数，则结论变为：对于每个前缀 \([1, i]\)，满足 \(s_i - t_i \ge 0\)，其中 \(s_i\) 表示奇偶性与 \(i\) 相同的前面的数的和，\(t\) 则表示前面其它的数的和。

发现一下这个形式在于，每次会给一个前缀后缀带来常数的影响，这带来的直观影响是每个位置的 \(s_i - t_i\) 会变化，但是由于紧凑性，大多影响都可以被抵消掉，我们可以声明此时偏移量 \(|\Delta| \le 2\)，考虑设计一个 DP 是，\(f_{i, 0/1/2, 0/1/2}\)，前 \(i\) 个位置，目前处于哪一段（前面，中间，后面），且此时带来的偏移量是多少的方案数，转移就好了。

当然有更为简单的做法，你还可以发现有一个性质是：对于合法的 \((s, t)\)，固定 \(s\)，则 \(t\) 一定为奇偶性相同的一段后缀，这也是我考场的 \(O(n^2 \log n)\) 做法。