Review P1721 [NOI2016] 国王饮水记

三年前做的题目了，那个时候还是太青涩了，没有理解到这个题目的本质。

我觉得这个题目的本质就在于：感受平均数的性质。

还是一步一步来想。不妨先考虑基于直观理解的事实：

• \(h_1\) 每进行完一次操作后必然增大。

若 \(h_1\) 进行完一次操作后不增大，那么不进行这次操作，显然更优。

接下来我们说出一个本题的关键性质，也是基于感性理解的重要一步：

• 每次操作都必定会和 \(h_1\) 进行操作。

可能难以说明其正确性，因为其操作的变化过程是难以描述的，但是我们可以简单的规约成两个元素从而说明其逆命题的不正确性，因为规约之后将对象从 \(h_1\) 转化到 \(h_i\)，该证明过程仍然成立，考虑 \(h_i, h_j\) 两者先操作再和 \(h_1\) 操作，和分别和 \(h_1\) 操作，做差即可判断哪种方式更优。这个性质更多是基于直觉的理解，它令我们的操作形式得到了很强的限制。

基于上述理解，最初 \(h_i \le h_1\) 的应该全部抛掉，它们对 \(h_1\) 只会造成负贡献（若选择一个集合包含 \(h_i\) 能使得 \(h_1\) 增大，则删除 \(h_i\) 必然能使得 \(h_1\) 的增量更大）。

不妨思考一个事情：在每次操作后对于操作过的数，其变化形式如何，显然，对于一次操作后的 \(h_j\)，其 \(h_j = h_1\)，根据上述结论，\(h_j \le h_1\)，所以此时 \(h_j\) 也是无用的了，所以每一次和 \(h_1\) 进行完操作的元素都不会再进行操作了。

此时思考部分分 \(k = 10^9\) 的性质，你可以突然发现另外一条性质：

• 若 \(n \le k\)，则必定是 \(\ge h_i\) 的一个一个与 \(h_1\) 进行操作。

此时操作数是够用的，你考虑如果每次和 \(h_1\) 操作的人大于 \(1\) 个，拆开肯定更优，像若干个人分饼，在饼的大小固定的情况下，人肯定越少越好。

同时可以利用邻项交换，可以推出此时是按照 \(h_i\) 的大小从小往大和 \(h_1\) 匹配，这里不再过多描述。

当 \(n > k\) 时，下面同样给出本题一个重要的结论，其基于上述几条性质推演而来：

• 可以按照 \(h_i\) 大小排序，则每次操作必定是分成若干段与 \(h_1\) 进行操作。

可以看作：原本我们是一个一个和 \(h_1\) 进行操作，但是现在操作数变少了，可以根据做差法得到此时应该将相邻（决策中相邻的位置）的缩在一起进行操作最优。注意，此时不一定是每个 \(h_i\) 都要选，只是说明区间必定接触。

那么此时有一个基于区间转移的 DP，可以打表发现其单调性，其实是可以证明的：

• 当 \(h_i\) 越来越大，选择的区间长度会越来越短。

这是因为增量越大，此时总和已经构不成瓶颈，得通过分母减小来使增量变大。

可以利用单调性进行斜率优化，此时你的复杂度为 \(O(nkp)\)，因为要带一个高精度小数类。

此时本题最后一个人力不可及的性质便是：

• 题目保证 \(h_i\) 互不相同，所以选择的区间最多只有 \(O(\log \frac{nh}{\min(h_i - h_{i - 1})})\) 级别个长度大于 \(1\) 的区间，这个值约等于 \(14\)。

此时单次处理长度为 \(1\) 的区间就可以了，最后这个性质的证明较为困难，考场上也许只有打表可以发现。