AT_abc422_g [ABC422G] Balls and Boxes

我们必须知道，我们必将知道。

这就是我做 GF 题的理由吧。

小球放盒子 problem。

第一问球互不区分，那么构造：

\[A(x) = \sum_{i \ge 0}[i \bmod A = 0]x^i \]

\[B(x) = \sum_{i \ge 0}[i \bmod B = 0]x^i \]

\[C(x) = \sum_{i \ge 0}[i \bmod C = 0]x^i \]

显然上界不超过 \(3n\)，计算 \([x^n]A(x)B(x)C(x)\) 即可，跑两遍 NTT 即可。

第二题我们考虑这样一个问题：

• 给 \(n\) 个求染色，要染 \(a\) 个红球，\(n - a\) 个黑球，球之间区分，问方案数。

那么基于计数的直觉告诉我们，这个东西的方案数是 \(\frac{n!}{a!(n - a)!}\)，我们暂时不把它当成组合数来理解。

那么这就是 EGF 的原理，考虑给原本每一项分配 \(i!\) 的系数，有：

\[A(x) = \sum_{i \ge 0}[i \bmod A = 0]\frac{x^i}{i!} \]

\[B(x) = \sum_{i \ge 0}[i \bmod B = 0]\frac{x^i}{i!} \]

\[C(x) = \sum_{i \ge 0}[i \bmod C = 0]\frac{x^i}{i!} \]

最后求出 \(n![x^n]A(x)B(x)C(x)\)，或者说我们更习惯写的形式是 \([\frac{x^n}{n!}]A(x)B(x)C(x)\)，与前面的式子是一样的效果，写几个 NTT 求解即可。