P11714 [清华集训 2014] 主旋律

最搞笑的一集，复杂度瓶颈在预处理。

首先我们知道如果强连通变成 DAG 咋做：

\[f_S = \sum_{T \subseteq} (-1)^{|T| + 1} f_{S - T} 2^{E(T, S - T)} \]

这个 \(-1\) 是容斥系数，相当于将 DAG 每次分层，考虑这个容斥让问题变成了什么，是可以不用记录最后一层点的！因为如果不记录这个的话你不知道 \(S - T\) 里是否还有入度为 \(0\) 的点，使用子集反演可以变成这个形式，也是一个特别经典的问题，可以当一个 trick 记录下来。

为什么我们要解决这个问题，是因为将非强连通图缩点后必定是一个 DAG，我们只需要看哪些点缩在一个 SCC 里就可以了。

设 \(f_S\) 为缩成一个 SCC 的方案数，\(g_S\) 为缩成若干个入度为 \(0\) SCC 的方案数，相当于换了个壳，状态转移式如下：

\[f_S = 2^{E(s, s)} - \sum_{T \subseteq S} (-1)^{x} g_T 2^{E(T, S - T) + E(S - T, S - T)} \]

现在容斥的意义就变成了 \(S - T\) 这个集合里的数可以随便连边，但是 \(x\) 我们是不知道的，因为它是 \(T\) 中缩成的 SCC 数量 \(+ 1\)，考虑解决 \(-1\) 的常用 trick，将个数带入 \(g_T\) 里计算，相当于 \(SCC\) 个数是奇数的权重为 \(1\)，否则是 \(-1\)，这样只与奇偶性有关。考虑到这一点，接下来考虑 \(g_S\) 的转移：

\[g_S = f_S - \sum_{T \subseteq S, T \ne S} f_T g_{S - T} \]

此时 \(-\) 恰好将后面那依托东西的正负号取反，SCC 个数的奇偶性也变了。但是会算重，使用经典手法固定 \(lowbit\)，就可以不重不漏了。

但是你发现 \(f_S\) 与 \(g_S\) 的转移在 \(g_S\) 的时候会变成环，你仔细理解一下过程，发现当 \(f_S\) 转移是 \(g_S\) 包含 \(f_S\) 并不合法，于是将环手动拆开即可。

提示我们强连通不好算和非强连通一起算，互相推导 DP 公式从而将问题转化为更加基本的 DAG 问题。