P13275 [NOI2025] 集合

容斥系数大神的含金量。

首先考虑 \([f(P) = f(Q)]\) 一看就不是很好办，我们需要容斥，容斥出来的结果是：

\[[f(P) = f(Q)] = \sum_{S \subseteq P} \sum_{T\subseteq Q} 2^{|S \cap T|} (-1)^{|S| + |T|} \]

后面那一项 \(-1\) 的系数应该是很好猜的，前面的 \(2^x\) 可能需要高斯消元观察一下，但是你要是直接推出来了我也没有话说。

那么答案便是：

\[\sum_S \sum_T 2^{|S \cap T|}(-1)^{|S| + |T|} \sum_{S \subseteq f(P)} \sum_{T \subseteq f(Q)} [P \cap Q = \emptyset] \prod_{i \in P \cup Q} a_i \]

但是这个式子还是太丑了，我们希望能够将 \(P, Q\) 去掉只剩下 \(S, T\)，这样显然枚举量小的多，那么我们令 \(C_S\) 为 \(S\) 的超集，由于现在不限制 \(f(P) = f(Q)\) 了，那么答案便是：

\[\sum_S \sum_T 2^{|S \cap T|}(-1)^{|S| + |T|} \sum_{X \subseteq A_S \cup A_T} \prod_{i \in X}(1 + [i\in A_S\cap A_T])a_i \]

\(+\) 上那一个表示 \(i\) 既能够分配给 \(P\) 也可以分配给 \(Q\)，于是现在你会了本题的 \(O(8^n)\) 做法了，恭喜你获得了 \(16pts\)。

未完待续。