AT_arc188_d [ARC188D] Mirror and Order

题目大意

我们称两个长度为 \(n\) 的数组所构成的数组对 \((a, b)\) 是合法的当且仅当其能够满足以下构造：

1. 构造 \(n\) 个长度为 \(3\) 且对应每一位上都不重复的使用了 \(1 \sim n\) 中的元素的数组 \(s_i\)，我们令第 \(i\) 个数组 \(s_i\) 的逆序数组为 \(t_i\)。
2. 需要满足 \(s_i \ne t_j, s_i \ne s_j, t_i \ne t_j\)。
3. 此时将所有 \(s_i, t_i\) 按照字典序排序（以 \(1\) 为起始下标），满足恰好 \(a_i\) 为 \(s_i\) 在其中的排名，\(b_i\) 为 \(t_i\) 在其中的排名。

现在给你两个长度为 \(n\) 的数组 \(A, B\)，固定了 \(a_i = A_i\)，且对于 \(B_i \ne -1\) 的 \(i\)，\(b_i = B_i\)，你需要确定有多少对合法的 \((a, b)\) 满足如上条件，对 \(998244353\) 取模。

数据范围：\(1 \le n \le \color{red}{10^6}\)。

solution

显然这个构造还是太吃操作了，考虑快速解决 \(B_i \ne -1\) 的情况下的答案，也就是如何判定 \((a, b)\) 是合法的。

分析一下排序后的数组，那么开头显然就是形如 \(1, 1, 2, 2, 3, 3, ...\)，每两个凑成一对，由于要满足 \(s_i \ne t_i\)，所以 \(s_i\) 的开头和 \(t_i\) 的开头肯定不一样，因此 \(2i, 2i - 1\) 这两个数不可能同时存在于 \(a\) 或 \(b\) 中，这是必要条件。

利用第二位的数值来确定合法的充要条件（因为翻转后一样），倘若 \(2i - 1\) 在 \(a\) 中，\(2i\) 在 \(b\) 中，那么 \(2i - 1\) 出现的位置所对应的中间数一定小于 \(2i\) 出现位置所对应的中间数，反之同理。此时我们将大小关系建图，那么合法充要条件就是整张图无环。

但我们显然没有很牛的东西统计满足这个条件的图的数目，将图画出来推理一下会发现 \(a, b\) 都确定时图呈现为若干个对冲的环状物，那么我们将那些还没确定的关系给办掉，图的形态就是一些环状物加上一些链状物了。根据上述生成图的方式，得出此时剩下的边只需要满足图的最终形态便都是合法的，相当于说我要加一些边，使得目前没有环的方案数。

将每条边固定一个方向（固定其中 \(a\) 对应的那个点，看这条边指不指向这个点），那么无环相当于所有环状物的方向不能一致，这里初始需要判断一下。然后将若干条链组成环，使得满足这个条件，我们设边均为正方向的链数量为 \(c0\)，边为负方向的链的数量为 \(c1\)，都有的链的数量为 \(c2\)，那么我们容斥这个化链为环的过程得到的答案是：

\[\sum_{i}^{c0} \sum_{j}^{c1} \sum_{p}^{i} \sum_{q}^{j} (-1)^{p + q} C_{c0}^i C_{c1}^j f_{i, p} f_{j, q} (c0+c1+c2 - i - j)! \]

其中 \((-1)^{p + q}\) 是容斥系数，然后组合选出一些链，\(f_{i, j}\) 表示 \(i\) 条链拼成 \(j\) 个环的方案数，后面的阶乘是经典结论剩下的链拼成若干个环的方案数。

考虑将其分为 \(i, j\) 两部分计算，我们令 \(s_i = \sum_{j = 0}^i (-1)^j f_{i, j}\)，然后式子会变成：

\[\sum_{i}^{c0} \sum_{j}^{c1} C_{c0}^i C_{c1}^j s_i s_j (c0+c1+c2 - i - j)! \]

此时我们算出 \(s\) 便可以 \(O(n^2)\) 求出答案，\(s\) 可以随便 DP 一下，你可以选择前缀和优化。此时你已经可以完美通过原题，但是本题存在严格线性做法。

你若是打个表便会发现 \(f_i\) 在 \(i \ge 2\) 时全部为 \(0\)，意味着通过 \(i\) 条链构成奇数个环和偶数个环方案数相同，具体来说可以构造双射，拼成若干个环你可以看成时生成一个排列，取其中的置换，那么交换这个排列的第一项和第二项必然会改变置换奇偶性（具体来说是 \(+1\)，同时这也解释了上述我们算阶乘的贡献）。