AT_arc202_c [ARC202C] Repunits

鉴定为，积累了 trick 不会用。

考虑 \(R_a\) 本质上是什么。

事实上，\(R_a = \frac{10^a - 1}{9}\)，考虑到 \(9\) 这个系数可以同一除掉，根据经典 trick，\(\gcd (x^a - 1, x^b - 1) = x^{\gcd(a, b)} - 1\)，所以除以 \(9\) 后有 \(\gcd(R_a, R_b) = R_{\gcd (a, b)}\)。

对于 \(lcm\)，此时最神仙的一步来了，构造 \(R_a = \prod_{j | a} f_j\)，由于这是在因数意义下定义的，那么显然有 \(\gcd(R_a, R_b) = \prod_{j | \gcd(a, b)} f_j\)，反之，我们可以推出 \(lcm(R_a, R_b) = \prod_{j | lcm (a, b)}f_j\)，我都不知道怎么想到这一步的。这只能说提示我们利用因数性质联系 \(\gcd, lcm\)。

然后变换一下形式有 \(f_n = \frac{R_n}{\prod_{j | n, j \ne n} f_j}\)，可以用 \(O(n \sqrt n)\) 快速求出。